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Theorem dfsmo2 5843
Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfsmo2 (Smo 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
Distinct variable group:   x,𝐹,y

Proof of Theorem dfsmo2
StepHypRef Expression
1 df-smo 5842 . 2 (Smo 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x))))
2 ralcom 2467 . . . . . 6 (y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ x dom 𝐹y dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)))
3 impexp 250 . . . . . . . . 9 (((y dom 𝐹 y x) → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ (y dom 𝐹 → (y x → (𝐹y) (𝐹x))))
4 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((y dom 𝐹 y x) → y x)
5 ordtr1 4091 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord dom 𝐹 → ((y x x dom 𝐹) → y dom 𝐹))
653impib 1101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord dom 𝐹 y x x dom 𝐹) → y dom 𝐹)
763com23 1109 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹 y x) → y dom 𝐹)
8 simp3 905 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹 y x) → y x)
97, 8jca 290 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹 y x) → (y dom 𝐹 y x))
1093expia 1105 . . . . . . . . . . 11 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹) → (y x → (y dom 𝐹 y x)))
114, 10impbid2 131 . . . . . . . . . 10 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹) → ((y dom 𝐹 y x) ↔ y x))
1211imbi1d 220 . . . . . . . . 9 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹) → (((y dom 𝐹 y x) → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ (y x → (𝐹y) (𝐹x))))
133, 12syl5bbr 183 . . . . . . . 8 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹) → ((y dom 𝐹 → (y x → (𝐹y) (𝐹x))) ↔ (y x → (𝐹y) (𝐹x))))
1413ralbidv2 2322 . . . . . . 7 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹) → (y dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ y x (𝐹y) (𝐹x)))
1514ralbidva 2316 . . . . . 6 (Ord dom 𝐹 → (x dom 𝐹y dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
162, 15syl5bb 181 . . . . 5 (Ord dom 𝐹 → (y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
1716pm5.32i 427 . . . 4 ((Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x))) ↔ (Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
1817anbi2i 430 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶On (Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)))) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On (Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x))))
19 3anass 888 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x))) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On (Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)))))
20 3anass 888 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On (Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x))))
2118, 19, 203bitr4i 201 . 2 ((𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x))) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
221, 21bitri 173 1 (Smo 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   wcel 1390  wral 2300  Ord word 4065  Oncon0 4066  dom cdm 4288  wf 4841  cfv 4845  Smo wsmo 5841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-in 2918  df-ss 2925  df-uni 3572  df-tr 3846  df-iord 4069  df-smo 5842
This theorem is referenced by:  issmo2  5845  smores2  5850  smofvon2dm  5852
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