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Theorem dfsmo2 5824
Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfsmo2 (Smo 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
Distinct variable group:   x,𝐹,y

Proof of Theorem dfsmo2
StepHypRef Expression
1 df-smo 5823 . 2 (Smo 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x))))
2 ralcom 2451 . . . . . 6 (y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ x dom 𝐹y dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)))
3 impexp 250 . . . . . . . . 9 (((y dom 𝐹 y x) → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ (y dom 𝐹 → (y x → (𝐹y) (𝐹x))))
4 simpr 103 . . . . . . . . . . 11 ((y dom 𝐹 y x) → y x)
5 ordtr1 4074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Ord dom 𝐹 → ((y x x dom 𝐹) → y dom 𝐹))
653impib 1088 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord dom 𝐹 y x x dom 𝐹) → y dom 𝐹)
763com23 1096 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹 y x) → y dom 𝐹)
8 simp3 894 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹 y x) → y x)
97, 8jca 290 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹 y x) → (y dom 𝐹 y x))
1093expia 1092 . . . . . . . . . . 11 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹) → (y x → (y dom 𝐹 y x)))
114, 10impbid2 131 . . . . . . . . . 10 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹) → ((y dom 𝐹 y x) ↔ y x))
1211imbi1d 220 . . . . . . . . 9 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹) → (((y dom 𝐹 y x) → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ (y x → (𝐹y) (𝐹x))))
133, 12syl5bbr 183 . . . . . . . 8 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹) → ((y dom 𝐹 → (y x → (𝐹y) (𝐹x))) ↔ (y x → (𝐹y) (𝐹x))))
1413ralbidv2 2306 . . . . . . 7 ((Ord dom 𝐹 x dom 𝐹) → (y dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ y x (𝐹y) (𝐹x)))
1514ralbidva 2300 . . . . . 6 (Ord dom 𝐹 → (x dom 𝐹y dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
162, 15syl5bb 181 . . . . 5 (Ord dom 𝐹 → (y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)) ↔ x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
1716pm5.32i 430 . . . 4 ((Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x))) ↔ (Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
1817anbi2i 433 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶On (Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)))) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On (Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x))))
19 3anass 877 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x))) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On (Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x)))))
20 3anass 877 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On (Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x))))
2118, 19, 203bitr4i 201 . 2 ((𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 y dom 𝐹x dom 𝐹(y x → (𝐹y) (𝐹x))) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
221, 21bitri 173 1 (Smo 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶On Ord dom 𝐹 x dom 𝐹y x (𝐹y) (𝐹x)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 873   wcel 1374  wral 2284  Ord word 4048  Oncon0 4049  dom cdm 4272  wf 4825  cfv 4829  Smo wsmo 5822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-v 2537  df-in 2901  df-ss 2908  df-uni 3555  df-tr 3829  df-iord 4052  df-smo 5823
This theorem is referenced by:  issmo2  5826  smores2  5831  smofvon2dm  5833
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