ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfoprab4 Structured version   GIF version

Theorem dfoprab4 5760
Description: Operation class abstraction expressed without existential quantifiers. (Contributed by NM, 3-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dfoprab4.1 (w = ⟨x, y⟩ → (φψ))
Assertion
Ref Expression
dfoprab4 {⟨w, z⟩ ∣ (w (A × B) φ)} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)}
Distinct variable groups:   x,w,y,A   w,B,x,y   φ,x,y   ψ,w   z,w,x,y
Allowed substitution hints:   φ(z,w)   ψ(x,y,z)   A(z)   B(z)

Proof of Theorem dfoprab4
StepHypRef Expression
1 xpss 4389 . . . . . 6 (A × B) ⊆ (V × V)
21sseli 2935 . . . . 5 (w (A × B) → w (V × V))
32adantr 261 . . . 4 ((w (A × B) φ) → w (V × V))
43pm4.71ri 372 . . 3 ((w (A × B) φ) ↔ (w (V × V) (w (A × B) φ)))
54opabbii 3815 . 2 {⟨w, z⟩ ∣ (w (A × B) φ)} = {⟨w, z⟩ ∣ (w (V × V) (w (A × B) φ))}
6 eleq1 2097 . . . . 5 (w = ⟨x, y⟩ → (w (A × B) ↔ ⟨x, y (A × B)))
7 opelxp 4317 . . . . 5 (⟨x, y (A × B) ↔ (x A y B))
86, 7syl6bb 185 . . . 4 (w = ⟨x, y⟩ → (w (A × B) ↔ (x A y B)))
9 dfoprab4.1 . . . 4 (w = ⟨x, y⟩ → (φψ))
108, 9anbi12d 442 . . 3 (w = ⟨x, y⟩ → ((w (A × B) φ) ↔ ((x A y B) ψ)))
1110dfoprab3 5759 . 2 {⟨w, z⟩ ∣ (w (V × V) (w (A × B) φ))} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)}
125, 11eqtri 2057 1 {⟨w, z⟩ ∣ (w (A × B) φ)} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  cop 3370  {copab 3808   × cxp 4286  {coprab 5456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fo 4851  df-fv 4853  df-oprab 5459  df-1st 5709  df-2nd 5710
This theorem is referenced by:  dfoprab4f  5761  dfxp3  5762
  Copyright terms: Public domain W3C validator