ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfioo2 Structured version   GIF version

Theorem dfioo2 8593
Description: Alternate definition of the set of open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfioo2 (,) = (x *, y * ↦ {w ℝ ∣ (x < w w < y)})
Distinct variable group:   x,w,y

Proof of Theorem dfioo2
StepHypRef Expression
1 ioof 8590 . . 3 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
2 ffn 4989 . . 3 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
3 fnovim 5551 . . 3 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (,) = (x *, y * ↦ (x(,)y)))
41, 2, 3mp2b 8 . 2 (,) = (x *, y * ↦ (x(,)y))
5 iooval2 8534 . . 3 ((x * y *) → (x(,)y) = {w ℝ ∣ (x < w w < y)})
65mpt2eq3ia 5512 . 2 (x *, y * ↦ (x(,)y)) = (x *, y * ↦ {w ℝ ∣ (x < w w < y)})
74, 6eqtri 2057 1 (,) = (x *, y * ↦ {w ℝ ∣ (x < w w < y)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1242  {crab 2304  𝒫 cpw 3351   class class class wbr 3755   × cxp 4286   Fn wfn 4840  wf 4841  (class class class)co 5455  cmpt2 5457  cr 6690  *cxr 6836   < clt 6837  (,)cioo 8507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-ioo 8511
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator