Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfiin2g Structured version   GIF version

Theorem dfiin2g 3681
 Description: Alternate definition of indexed intersection when B is a set. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
dfiin2g (x A B 𝐶 x A B = {yx A y = B})
Distinct variable groups:   y,A   y,B   x,y
Allowed substitution hints:   A(x)   B(x)   𝐶(x,y)

Proof of Theorem dfiin2g
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2305 . . . 4 (x A w Bx(x Aw B))
2 df-ral 2305 . . . . . 6 (x A B 𝐶x(x AB 𝐶))
3 eleq2 2098 . . . . . . . . . . . . 13 (z = B → (w zw B))
43biimprcd 149 . . . . . . . . . . . 12 (w B → (z = Bw z))
54alrimiv 1751 . . . . . . . . . . 11 (w Bz(z = Bw z))
6 eqid 2037 . . . . . . . . . . . 12 B = B
7 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . . . 14 (z = B → (z = BB = B))
87, 3imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . 13 (z = B → ((z = Bw z) ↔ (B = Bw B)))
98spcgv 2634 . . . . . . . . . . . 12 (B 𝐶 → (z(z = Bw z) → (B = Bw B)))
106, 9mpii 39 . . . . . . . . . . 11 (B 𝐶 → (z(z = Bw z) → w B))
115, 10impbid2 131 . . . . . . . . . 10 (B 𝐶 → (w Bz(z = Bw z)))
1211imim2i 12 . . . . . . . . 9 ((x AB 𝐶) → (x A → (w Bz(z = Bw z))))
1312pm5.74d 171 . . . . . . . 8 ((x AB 𝐶) → ((x Aw B) ↔ (x Az(z = Bw z))))
1413alimi 1341 . . . . . . 7 (x(x AB 𝐶) → x((x Aw B) ↔ (x Az(z = Bw z))))
15 albi 1354 . . . . . . 7 (x((x Aw B) ↔ (x Az(z = Bw z))) → (x(x Aw B) ↔ x(x Az(z = Bw z))))
1614, 15syl 14 . . . . . 6 (x(x AB 𝐶) → (x(x Aw B) ↔ x(x Az(z = Bw z))))
172, 16sylbi 114 . . . . 5 (x A B 𝐶 → (x(x Aw B) ↔ x(x Az(z = Bw z))))
18 df-ral 2305 . . . . . . . 8 (x A (z = Bw z) ↔ x(x A → (z = Bw z)))
1918albii 1356 . . . . . . 7 (zx A (z = Bw z) ↔ zx(x A → (z = Bw z)))
20 alcom 1364 . . . . . . 7 (xz(x A → (z = Bw z)) ↔ zx(x A → (z = Bw z)))
2119, 20bitr4i 176 . . . . . 6 (zx A (z = Bw z) ↔ xz(x A → (z = Bw z)))
22 r19.23v 2419 . . . . . . . 8 (x A (z = Bw z) ↔ (x A z = Bw z))
23 vex 2554 . . . . . . . . . 10 z V
24 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . 11 (y = z → (y = Bz = B))
2524rexbidv 2321 . . . . . . . . . 10 (y = z → (x A y = Bx A z = B))
2623, 25elab 2681 . . . . . . . . 9 (z {yx A y = B} ↔ x A z = B)
2726imbi1i 227 . . . . . . . 8 ((z {yx A y = B} → w z) ↔ (x A z = Bw z))
2822, 27bitr4i 176 . . . . . . 7 (x A (z = Bw z) ↔ (z {yx A y = B} → w z))
2928albii 1356 . . . . . 6 (zx A (z = Bw z) ↔ z(z {yx A y = B} → w z))
30 19.21v 1750 . . . . . . 7 (z(x A → (z = Bw z)) ↔ (x Az(z = Bw z)))
3130albii 1356 . . . . . 6 (xz(x A → (z = Bw z)) ↔ x(x Az(z = Bw z)))
3221, 29, 313bitr3ri 200 . . . . 5 (x(x Az(z = Bw z)) ↔ z(z {yx A y = B} → w z))
3317, 32syl6bb 185 . . . 4 (x A B 𝐶 → (x(x Aw B) ↔ z(z {yx A y = B} → w z)))
341, 33syl5bb 181 . . 3 (x A B 𝐶 → (x A w Bz(z {yx A y = B} → w z)))
3534abbidv 2152 . 2 (x A B 𝐶 → {wx A w B} = {wz(z {yx A y = B} → w z)})
36 df-iin 3651 . 2 x A B = {wx A w B}
37 df-int 3607 . 2 {yx A y = B} = {wz(z {yx A y = B} → w z)}
3835, 36, 373eqtr4g 2094 1 (x A B 𝐶 x A B = {yx A y = B})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  {cab 2023  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  ∩ cint 3606  ∩ ciin 3649 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-int 3607  df-iin 3651 This theorem is referenced by:  dfiin2  3683  iinexgm  3899  dfiin3g  4533  fniinfv  5174
 Copyright terms: Public domain W3C validator