Theorem dfiin2g 3664

Description: Alternate definition of indexed intersection when B is a set. (Contributed by Jeff Hankins, 27-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
dfiin2g	⊢ (∀x ∈ A B ∈ 𝐶 → ∩ x ∈ A B = ∩ {y ∣ ∃x ∈ A y = B})

Distinct variable groups:   y,A   y,B   x,y

Allowed substitution hints:   A(x)   B(x)   𝐶(x,y)

Proof of Theorem dfiin2g

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2289	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ A w ∈ B ↔ ∀x(x ∈ A → w ∈ B))
2		df-ral 2289	. . . . . 6 ⊢ (∀x ∈ A B ∈ 𝐶 ↔ ∀x(x ∈ A → B ∈ 𝐶))
3		eleq2 2083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z = B → (w ∈ z ↔ w ∈ B))
4	3	biimprcd 149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ B → (z = B → w ∈ z))
5	4	alrimiv 1736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ B → ∀z(z = B → w ∈ z))
6		eqid 2022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ B = B
7		eqeq1 2028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z = B → (z = B ↔ B = B))
8	7, 3	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z = B → ((z = B → w ∈ z) ↔ (B = B → w ∈ B)))
9	8	spcgv 2617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (B ∈ 𝐶 → (∀z(z = B → w ∈ z) → (B = B → w ∈ B)))
10	6, 9	mpii 39	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ 𝐶 → (∀z(z = B → w ∈ z) → w ∈ B))
11	5, 10	impbid2 131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ 𝐶 → (w ∈ B ↔ ∀z(z = B → w ∈ z)))
12	11	imim2i 12	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ A → B ∈ 𝐶) → (x ∈ A → (w ∈ B ↔ ∀z(z = B → w ∈ z))))
13	12	pm5.74d 171	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ A → B ∈ 𝐶) → ((x ∈ A → w ∈ B) ↔ (x ∈ A → ∀z(z = B → w ∈ z))))
14	13	alimi 1324	. . . . . . 7 ⊢ (∀x(x ∈ A → B ∈ 𝐶) → ∀x((x ∈ A → w ∈ B) ↔ (x ∈ A → ∀z(z = B → w ∈ z))))
15		albi 1337	. . . . . . 7 ⊢ (∀x((x ∈ A → w ∈ B) ↔ (x ∈ A → ∀z(z = B → w ∈ z))) → (∀x(x ∈ A → w ∈ B) ↔ ∀x(x ∈ A → ∀z(z = B → w ∈ z))))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (∀x(x ∈ A → B ∈ 𝐶) → (∀x(x ∈ A → w ∈ B) ↔ ∀x(x ∈ A → ∀z(z = B → w ∈ z))))
17	2, 16	sylbi 114	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ A B ∈ 𝐶 → (∀x(x ∈ A → w ∈ B) ↔ ∀x(x ∈ A → ∀z(z = B → w ∈ z))))
18		df-ral 2289	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x ∈ A (z = B → w ∈ z) ↔ ∀x(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)))
19	18	albii 1339	. . . . . . 7 ⊢ (∀z∀x ∈ A (z = B → w ∈ z) ↔ ∀z∀x(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)))
20		alcom 1347	. . . . . . 7 ⊢ (∀x∀z(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)) ↔ ∀z∀x(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)))
21	19, 20	bitr4i 176	. . . . . 6 ⊢ (∀z∀x ∈ A (z = B → w ∈ z) ↔ ∀x∀z(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)))
22		r19.23v 2403	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x ∈ A (z = B → w ∈ z) ↔ (∃x ∈ A z = B → w ∈ z))
23		vex 2538	. . . . . . . . . 10 ⊢ z ∈ V
24		eqeq1 2028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = z → (y = B ↔ z = B))
25	24	rexbidv 2305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = z → (∃x ∈ A y = B ↔ ∃x ∈ A z = B))
26	23, 25	elab 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = B} ↔ ∃x ∈ A z = B)
27	26	imbi1i 227	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = B} → w ∈ z) ↔ (∃x ∈ A z = B → w ∈ z))
28	22, 27	bitr4i 176	. . . . . . 7 ⊢ (∀x ∈ A (z = B → w ∈ z) ↔ (z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = B} → w ∈ z))
29	28	albii 1339	. . . . . 6 ⊢ (∀z∀x ∈ A (z = B → w ∈ z) ↔ ∀z(z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = B} → w ∈ z))
30		19.21v 1735	. . . . . . 7 ⊢ (∀z(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)) ↔ (x ∈ A → ∀z(z = B → w ∈ z)))
31	30	albii 1339	. . . . . 6 ⊢ (∀x∀z(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)) ↔ ∀x(x ∈ A → ∀z(z = B → w ∈ z)))
32	21, 29, 31	3bitr3ri 200	. . . . 5 ⊢ (∀x(x ∈ A → ∀z(z = B → w ∈ z)) ↔ ∀z(z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = B} → w ∈ z))
33	17, 32	syl6bb 185	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ A B ∈ 𝐶 → (∀x(x ∈ A → w ∈ B) ↔ ∀z(z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = B} → w ∈ z)))
34	1, 33	syl5bb 181	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A B ∈ 𝐶 → (∀x ∈ A w ∈ B ↔ ∀z(z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = B} → w ∈ z)))
35	34	abbidv 2137	. 2 ⊢ (∀x ∈ A B ∈ 𝐶 → {w ∣ ∀x ∈ A w ∈ B} = {w ∣ ∀z(z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = B} → w ∈ z)})
36		df-iin 3634	. 2 ⊢ ∩ x ∈ A B = {w ∣ ∀x ∈ A w ∈ B}
37		df-int 3590	. 2 ⊢ ∩ {y ∣ ∃x ∈ A y = B} = {w ∣ ∀z(z ∈ {y ∣ ∃x ∈ A y = B} → w ∈ z)}
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2079	1 ⊢ (∀x ∈ A B ∈ 𝐶 → ∩ x ∈ A B = ∩ {y ∣ ∃x ∈ A y = B})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98  ∀wal 1226   = wceq 1228   ∈ wcel 1374  {cab 2008  ∀wral 2284  ∃wrex 2285  ∩ cint 3589  ∩ ciin 3632

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-int 3590  df-iin 3634

This theorem is referenced by:  dfiin2  3666  iinexgm  3882  dfiin3g  4517  fniinfv  5156