Theorem dff4im 5227

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff4im	⊢ (𝐹:A⟶B → (𝐹 ⊆ (A × B) ∧ ∀x ∈ A ∃!y ∈ B x𝐹y))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝐹,y

Proof of Theorem dff4im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff3im 5226	. 2 ⊢ (𝐹:A⟶B → (𝐹 ⊆ (A × B) ∧ ∀x ∈ A ∃!y x𝐹y))
2		df-br 3729	. . . . . . . 8 ⊢ (x𝐹y ↔ ⟨x, y⟩ ∈ 𝐹)
3		ssel 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (⟨x, y⟩ ∈ 𝐹 → ⟨x, y⟩ ∈ (A × B)))
4		opelxp2 4294	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (A × B) → y ∈ B)
5	3, 4	syl6 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (⟨x, y⟩ ∈ 𝐹 → y ∈ B))
6	2, 5	syl5bi 141	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (x𝐹y → y ∈ B))
7	6	pm4.71rd 374	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (x𝐹y ↔ (y ∈ B ∧ x𝐹y)))
8	7	eubidv 1882	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (∃!y x𝐹y ↔ ∃!y(y ∈ B ∧ x𝐹y)))
9		df-reu 2283	. . . . 5 ⊢ (∃!y ∈ B x𝐹y ↔ ∃!y(y ∈ B ∧ x𝐹y))
10	8, 9	syl6bbr 187	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (∃!y x𝐹y ↔ ∃!y ∈ B x𝐹y))
11	10	ralbidv 2296	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (∀x ∈ A ∃!y x𝐹y ↔ ∀x ∈ A ∃!y ∈ B x𝐹y))
12	11	pm5.32i 427	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ (A × B) ∧ ∀x ∈ A ∃!y x𝐹y) ↔ (𝐹 ⊆ (A × B) ∧ ∀x ∈ A ∃!y ∈ B x𝐹y))
13	1, 12	sylib 127	1 ⊢ (𝐹:A⟶B → (𝐹 ⊆ (A × B) ∧ ∀x ∈ A ∃!y ∈ B x𝐹y))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1367  ∃!weu 1874  ∀wral 2276  ∃!wreu 2278   ⊆ wss 2886  ⟨cop 3343   class class class wbr 3728   × cxp 4259  ⟶wf 4814

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1310  ax-7 1311  ax-gen 1312  ax-ie1 1356  ax-ie2 1357  ax-8 1369  ax-10 1370  ax-11 1371  ax-i12 1372  ax-bnd 1373  ax-4 1374  ax-14 1379  ax-17 1393  ax-i9 1397  ax-ial 1401  ax-i5r 1402  ax-ext 1996  ax-sep 3839  ax-pow 3891  ax-pr 3908

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1227  df-nf 1324  df-sb 1620  df-eu 1877  df-mo 1878  df-clab 2001  df-cleq 2007  df-clel 2010  df-nfc 2141  df-ral 2281  df-rex 2282  df-reu 2283  df-v 2529  df-sbc 2734  df-un 2891  df-in 2893  df-ss 2900  df-pw 3326  df-sn 3346  df-pr 3347  df-op 3349  df-uni 3545  df-br 3729  df-opab 3783  df-id 3994  df-xp 4267  df-rel 4268  df-cnv 4269  df-co 4270  df-dm 4271  df-rn 4272  df-iota 4783  df-fun 4820  df-fn 4821  df-f 4822  df-fv 4826

This theorem is referenced by: (None)