Theorem dff4im 5256

Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dff4im	⊢ (𝐹:A⟶B → (𝐹 ⊆ (A × B) ∧ ∀x ∈ A ∃!y ∈ B x𝐹y))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝐹,y

Proof of Theorem dff4im

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff3im 5255	. 2 ⊢ (𝐹:A⟶B → (𝐹 ⊆ (A × B) ∧ ∀x ∈ A ∃!y x𝐹y))
2		df-br 3756	. . . . . . . 8 ⊢ (x𝐹y ↔ ⟨x, y⟩ ∈ 𝐹)
3		ssel 2933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (⟨x, y⟩ ∈ 𝐹 → ⟨x, y⟩ ∈ (A × B)))
4		opelxp2 4321	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (A × B) → y ∈ B)
5	3, 4	syl6 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (⟨x, y⟩ ∈ 𝐹 → y ∈ B))
6	2, 5	syl5bi 141	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (x𝐹y → y ∈ B))
7	6	pm4.71rd 374	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (x𝐹y ↔ (y ∈ B ∧ x𝐹y)))
8	7	eubidv 1905	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (∃!y x𝐹y ↔ ∃!y(y ∈ B ∧ x𝐹y)))
9		df-reu 2307	. . . . 5 ⊢ (∃!y ∈ B x𝐹y ↔ ∃!y(y ∈ B ∧ x𝐹y))
10	8, 9	syl6bbr 187	. . . 4 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (∃!y x𝐹y ↔ ∃!y ∈ B x𝐹y))
11	10	ralbidv 2320	. . 3 ⊢ (𝐹 ⊆ (A × B) → (∀x ∈ A ∃!y x𝐹y ↔ ∀x ∈ A ∃!y ∈ B x𝐹y))
12	11	pm5.32i 427	. 2 ⊢ ((𝐹 ⊆ (A × B) ∧ ∀x ∈ A ∃!y x𝐹y) ↔ (𝐹 ⊆ (A × B) ∧ ∀x ∈ A ∃!y ∈ B x𝐹y))
13	1, 12	sylib 127	1 ⊢ (𝐹:A⟶B → (𝐹 ⊆ (A × B) ∧ ∀x ∈ A ∃!y ∈ B x𝐹y))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390  ∃!weu 1897  ∀wral 2300  ∃!wreu 2302   ⊆ wss 2911  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ⟶wf 4841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853

This theorem is referenced by: (None)