ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff4im GIF version

Theorem dff4im 5256
Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dff4im (𝐹:AB → (𝐹 ⊆ (A × B) x A ∃!y B x𝐹y))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝐹,y

Proof of Theorem dff4im
StepHypRef Expression
1 dff3im 5255 . 2 (𝐹:AB → (𝐹 ⊆ (A × B) x A ∃!y x𝐹y))
2 df-br 3756 . . . . . . . 8 (x𝐹y ↔ ⟨x, y 𝐹)
3 ssel 2933 . . . . . . . . 9 (𝐹 ⊆ (A × B) → (⟨x, y 𝐹 → ⟨x, y (A × B)))
4 opelxp2 4321 . . . . . . . . 9 (⟨x, y (A × B) → y B)
53, 4syl6 29 . . . . . . . 8 (𝐹 ⊆ (A × B) → (⟨x, y 𝐹y B))
62, 5syl5bi 141 . . . . . . 7 (𝐹 ⊆ (A × B) → (x𝐹yy B))
76pm4.71rd 374 . . . . . 6 (𝐹 ⊆ (A × B) → (x𝐹y ↔ (y B x𝐹y)))
87eubidv 1905 . . . . 5 (𝐹 ⊆ (A × B) → (∃!y x𝐹y∃!y(y B x𝐹y)))
9 df-reu 2307 . . . . 5 (∃!y B x𝐹y∃!y(y B x𝐹y))
108, 9syl6bbr 187 . . . 4 (𝐹 ⊆ (A × B) → (∃!y x𝐹y∃!y B x𝐹y))
1110ralbidv 2320 . . 3 (𝐹 ⊆ (A × B) → (x A ∃!y x𝐹yx A ∃!y B x𝐹y))
1211pm5.32i 427 . 2 ((𝐹 ⊆ (A × B) x A ∃!y x𝐹y) ↔ (𝐹 ⊆ (A × B) x A ∃!y B x𝐹y))
131, 12sylib 127 1 (𝐹:AB → (𝐹 ⊆ (A × B) x A ∃!y B x𝐹y))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1390  ∃!weu 1897  wral 2300  ∃!wreu 2302  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  wf 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator