ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff3im Structured version   GIF version

Theorem dff3im 5255
Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dff3im (𝐹:AB → (𝐹 ⊆ (A × B) x A ∃!y x𝐹y))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝐹,y

Proof of Theorem dff3im
StepHypRef Expression
1 fssxp 5001 . 2 (𝐹:AB𝐹 ⊆ (A × B))
2 ffun 4991 . . . . . . . 8 (𝐹:AB → Fun 𝐹)
32adantr 261 . . . . . . 7 ((𝐹:AB x A) → Fun 𝐹)
4 fdm 4993 . . . . . . . . 9 (𝐹:AB → dom 𝐹 = A)
54eleq2d 2104 . . . . . . . 8 (𝐹:AB → (x dom 𝐹x A))
65biimpar 281 . . . . . . 7 ((𝐹:AB x A) → x dom 𝐹)
7 funfvop 5222 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
83, 6, 7syl2anc 391 . . . . . 6 ((𝐹:AB x A) → ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
9 df-br 3756 . . . . . 6 (x𝐹(𝐹x) ↔ ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
108, 9sylibr 137 . . . . 5 ((𝐹:AB x A) → x𝐹(𝐹x))
11 funfvex 5135 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
12 breq2 3759 . . . . . . . 8 (y = (𝐹x) → (x𝐹yx𝐹(𝐹x)))
1312spcegv 2635 . . . . . . 7 ((𝐹x) V → (x𝐹(𝐹x) → y x𝐹y))
1411, 13syl 14 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (x𝐹(𝐹x) → y x𝐹y))
153, 6, 14syl2anc 391 . . . . 5 ((𝐹:AB x A) → (x𝐹(𝐹x) → y x𝐹y))
1610, 15mpd 13 . . . 4 ((𝐹:AB x A) → y x𝐹y)
17 funmo 4860 . . . . . 6 (Fun 𝐹∃*y x𝐹y)
182, 17syl 14 . . . . 5 (𝐹:AB∃*y x𝐹y)
1918adantr 261 . . . 4 ((𝐹:AB x A) → ∃*y x𝐹y)
20 eu5 1944 . . . 4 (∃!y x𝐹y ↔ (y x𝐹y ∃*y x𝐹y))
2116, 19, 20sylanbrc 394 . . 3 ((𝐹:AB x A) → ∃!y x𝐹y)
2221ralrimiva 2386 . 2 (𝐹:ABx A ∃!y x𝐹y)
231, 22jca 290 1 (𝐹:AB → (𝐹 ⊆ (A × B) x A ∃!y x𝐹y))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wex 1378   wcel 1390  ∃!weu 1897  ∃*wmo 1898  wral 2300  Vcvv 2551  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  dom cdm 4288  Fun wfun 4839  wf 4841  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  dff4im  5256
  Copyright terms: Public domain W3C validator