ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff3im Structured version   GIF version

Theorem dff3im 5237
Description: Property of a mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dff3im (𝐹:AB → (𝐹 ⊆ (A × B) x A ∃!y x𝐹y))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝐹,y

Proof of Theorem dff3im
StepHypRef Expression
1 fssxp 4983 . 2 (𝐹:AB𝐹 ⊆ (A × B))
2 ffun 4974 . . . . . . . 8 (𝐹:AB → Fun 𝐹)
32adantr 261 . . . . . . 7 ((𝐹:AB x A) → Fun 𝐹)
4 fdm 4976 . . . . . . . . 9 (𝐹:AB → dom 𝐹 = A)
54eleq2d 2089 . . . . . . . 8 (𝐹:AB → (x dom 𝐹x A))
65biimpar 281 . . . . . . 7 ((𝐹:AB x A) → x dom 𝐹)
7 funfvop 5204 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
83, 6, 7syl2anc 393 . . . . . 6 ((𝐹:AB x A) → ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
9 df-br 3739 . . . . . 6 (x𝐹(𝐹x) ↔ ⟨x, (𝐹x)⟩ 𝐹)
108, 9sylibr 137 . . . . 5 ((𝐹:AB x A) → x𝐹(𝐹x))
11 funfvex 5117 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
12 breq2 3742 . . . . . . . 8 (y = (𝐹x) → (x𝐹yx𝐹(𝐹x)))
1312spcegv 2618 . . . . . . 7 ((𝐹x) V → (x𝐹(𝐹x) → y x𝐹y))
1411, 13syl 14 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (x𝐹(𝐹x) → y x𝐹y))
153, 6, 14syl2anc 393 . . . . 5 ((𝐹:AB x A) → (x𝐹(𝐹x) → y x𝐹y))
1610, 15mpd 13 . . . 4 ((𝐹:AB x A) → y x𝐹y)
17 funmo 4843 . . . . . 6 (Fun 𝐹∃*y x𝐹y)
182, 17syl 14 . . . . 5 (𝐹:AB∃*y x𝐹y)
1918adantr 261 . . . 4 ((𝐹:AB x A) → ∃*y x𝐹y)
20 eu5 1929 . . . 4 (∃!y x𝐹y ↔ (y x𝐹y ∃*y x𝐹y))
2116, 19, 20sylanbrc 396 . . 3 ((𝐹:AB x A) → ∃!y x𝐹y)
2221ralrimiva 2370 . 2 (𝐹:ABx A ∃!y x𝐹y)
231, 22jca 290 1 (𝐹:AB → (𝐹 ⊆ (A × B) x A ∃!y x𝐹y))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wex 1362   wcel 1374  ∃!weu 1882  ∃*wmo 1883  wral 2284  Vcvv 2535  wss 2894  cop 3353   class class class wbr 3738   × cxp 4270  dom cdm 4272  Fun wfun 4823  wf 4825  cfv 4829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-fv 4837
This theorem is referenced by:  dff4im  5238
  Copyright terms: Public domain W3C validator