Theorem decma2c 8407

Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decma.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decma.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decma.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decma.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decma.5	⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
decma.6	⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
decma2c.7	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
decma2c.8	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
decma2c.9	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
decma2c.10	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decma2c.11	⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ;𝐺𝐹

Assertion

Ref	Expression
decma2c	⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Proof of Theorem decma2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10nn0 8206	. . 3 ⊢ 10 ∈ ℕ0
2		decma.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		decma.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
4		decma.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decma.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		decma.5	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ;𝐴𝐵
7		df-dec 8369	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
8	6, 7	eqtri 2060	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
9		decma.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ;𝐶𝐷
10		df-dec 8369	. . . 4 ⊢ ;𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
11	9, 10	eqtri 2060	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
12		decma2c.7	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
13		decma2c.8	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
14		decma2c.9	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
15		decma2c.10	. . 3 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16		decma2c.11	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ;𝐺𝐹
17		df-dec 8369	. . . 4 ⊢ ;𝐺𝐹 = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
18	16, 17	eqtri 2060	. . 3 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
19	1, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18	numma2c 8400	. 2 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
20		df-dec 8369	. 2 ⊢ ;𝐸𝐹 = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
21	19, 20	eqtr4i 2063	1 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ;𝐸𝐹

Syntax hints:   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  (class class class)co 5512   + caddc 6892   · cmul 6894  10c10 7972  ℕ₀cn0 8181  ;cdc 8368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-5 7976  df-6 7977  df-7 7978  df-8 7979  df-9 7980  df-10 7981  df-n0 8182  df-dec 8369

This theorem is referenced by: (None)