Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decma2c GIF version

Theorem decma2c 8407
 Description: Perform a multiply-add of two numerals 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.1 𝐴 ∈ ℕ0
decma.2 𝐵 ∈ ℕ0
decma.3 𝐶 ∈ ℕ0
decma.4 𝐷 ∈ ℕ0
decma.5 𝑀 = 𝐴𝐵
decma.6 𝑁 = 𝐶𝐷
decma2c.7 𝑃 ∈ ℕ0
decma2c.8 𝐹 ∈ ℕ0
decma2c.9 𝐺 ∈ ℕ0
decma2c.10 ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
decma2c.11 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = 𝐺𝐹
Assertion
Ref Expression
decma2c ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = 𝐸𝐹

Proof of Theorem decma2c
StepHypRef Expression
1 10nn0 8206 . . 3 10 ∈ ℕ0
2 decma.1 . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
3 decma.2 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
4 decma.3 . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
5 decma.4 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
6 decma.5 . . . 4 𝑀 = 𝐴𝐵
7 df-dec 8369 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
86, 7eqtri 2060 . . 3 𝑀 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
9 decma.6 . . . 4 𝑁 = 𝐶𝐷
10 df-dec 8369 . . . 4 𝐶𝐷 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
119, 10eqtri 2060 . . 3 𝑁 = ((10 · 𝐶) + 𝐷)
12 decma2c.7 . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
13 decma2c.8 . . 3 𝐹 ∈ ℕ0
14 decma2c.9 . . 3 𝐺 ∈ ℕ0
15 decma2c.10 . . 3 ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
16 decma2c.11 . . . 4 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = 𝐺𝐹
17 df-dec 8369 . . . 4 𝐺𝐹 = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
1816, 17eqtri 2060 . . 3 ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((10 · 𝐺) + 𝐹)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18numma2c 8400 . 2 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
20 df-dec 8369 . 2 𝐸𝐹 = ((10 · 𝐸) + 𝐹)
2119, 20eqtr4i 2063 1 ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = 𝐸𝐹
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  (class class class)co 5512   + caddc 6892   · cmul 6894  10c10 7972  ℕ0cn0 8181  ;cdc 8368 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-sub 7184  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-5 7976  df-6 7977  df-7 7978  df-8 7979  df-9 7980  df-10 7981  df-n0 8182  df-dec 8369 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator