Theorem decaddci2 8189

Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decaddi.1	⊢ A ∈ ℕ0
decaddi.2	⊢ B ∈ ℕ0
decaddi.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
decaddi.4	⊢ 𝑀 = ;AB
decaddci.5	⊢ (A + 1) = 𝐷
decaddci2.6	⊢ (B + 𝑁) = 10

Assertion

Ref	Expression
decaddci2	⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐷0

Proof of Theorem decaddci2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decaddi.1	. 2 ⊢ A ∈ ℕ0
2		decaddi.2	. 2 ⊢ B ∈ ℕ0
3		decaddi.3	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
4		decaddi.4	. 2 ⊢ 𝑀 = ;AB
5		decaddci.5	. 2 ⊢ (A + 1) = 𝐷
6		0nn0 7972	. 2 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7		decaddci2.6	. . 3 ⊢ (B + 𝑁) = 10
8		dec10 8173	. . 3 ⊢ 10 = ;10
9	7, 8	eqtri 2057	. 2 ⊢ (B + 𝑁) = ;10
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	decaddci 8188	1 ⊢ (𝑀 + 𝑁) = ;𝐷0

Syntax hints:   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714  10c10 7752  ℕ₀cn0 7957  ;cdc 8144

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-inn 7696  df-2 7753  df-3 7754  df-4 7755  df-5 7756  df-6 7757  df-7 7758  df-8 7759  df-9 7760  df-10 7761  df-n0 7958  df-dec 8145

This theorem is referenced by:  5t4e20  8218  6t5e30  8223  8t5e40  8234