ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  decaddci GIF version

Theorem decaddci 8188
Description: Add two numerals 𝑀 and 𝑁 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decaddi.1 A 0
decaddi.2 B 0
decaddi.3 𝑁 0
decaddi.4 𝑀 = AB
decaddci.5 (A + 1) = 𝐷
decaddci.6 𝐶 0
decaddci.7 (B + 𝑁) = 1𝐶
Assertion
Ref Expression
decaddci (𝑀 + 𝑁) = 𝐷𝐶

Proof of Theorem decaddci
StepHypRef Expression
1 decaddi.1 . 2 A 0
2 decaddi.2 . 2 B 0
3 0nn0 7972 . 2 0 0
4 decaddi.3 . 2 𝑁 0
5 decaddi.4 . 2 𝑀 = AB
64dec0h 8159 . 2 𝑁 = 0𝑁
71nn0cni 7969 . . . . 5 A
87addid1i 6952 . . . 4 (A + 0) = A
98oveq1i 5465 . . 3 ((A + 0) + 1) = (A + 1)
10 decaddci.5 . . 3 (A + 1) = 𝐷
119, 10eqtri 2057 . 2 ((A + 0) + 1) = 𝐷
12 decaddci.6 . 2 𝐶 0
13 decaddci.7 . 2 (B + 𝑁) = 1𝐶
141, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13decaddc 8185 1 (𝑀 + 𝑁) = 𝐷𝐶
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714  0cn0 7957  cdc 8144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-inn 7696  df-2 7753  df-3 7754  df-4 7755  df-5 7756  df-6 7757  df-7 7758  df-8 7759  df-9 7760  df-10 7761  df-n0 7958  df-dec 8145
This theorem is referenced by:  decaddci2  8189  6t4e24  8222  7t3e21  8226  7t5e35  8228  7t6e42  8229  8t3e24  8232  8t4e32  8233  8t7e56  8236  8t8e64  8237  9t3e27  8239  9t4e36  8240  9t5e45  8241  9t6e54  8242  9t7e63  8243  9t8e72  8244  9t9e81  8245
  Copyright terms: Public domain W3C validator