Theorem csbunig 3579

Description: Distribute proper substitution through the union of a class. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
csbunig	⊢ (A ∈ 𝑉 → ⦋A / x⦌∪ B = ∪ ⦋A / x⦌B)

Proof of Theorem csbunig

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbabg 2901	. . 3 ⊢ (A ∈ 𝑉 → ⦋A / x⦌{z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)} = {z ∣ [A / x]∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)})
2		sbcexg 2807	. . . . 5 ⊢ (A ∈ 𝑉 → ([A / x]∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B) ↔ ∃y[A / x](z ∈ y ∧ y ∈ B)))
3		sbcang 2800	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ 𝑉 → ([A / x](z ∈ y ∧ y ∈ B) ↔ ([A / x]z ∈ y ∧ [A / x]y ∈ B)))
4		sbcg 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ 𝑉 → ([A / x]z ∈ y ↔ z ∈ y))
5		sbcel2g 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ 𝑉 → ([A / x]y ∈ B ↔ y ∈ ⦋A / x⦌B))
6	4, 5	anbi12d 442	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ 𝑉 → (([A / x]z ∈ y ∧ [A / x]y ∈ B) ↔ (z ∈ y ∧ y ∈ ⦋A / x⦌B)))
7	3, 6	bitrd 177	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ 𝑉 → ([A / x](z ∈ y ∧ y ∈ B) ↔ (z ∈ y ∧ y ∈ ⦋A / x⦌B)))
8	7	exbidv 1703	. . . . 5 ⊢ (A ∈ 𝑉 → (∃y[A / x](z ∈ y ∧ y ∈ B) ↔ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ ⦋A / x⦌B)))
9	2, 8	bitrd 177	. . . 4 ⊢ (A ∈ 𝑉 → ([A / x]∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B) ↔ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ ⦋A / x⦌B)))
10	9	abbidv 2152	. . 3 ⊢ (A ∈ 𝑉 → {z ∣ [A / x]∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)} = {z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ ⦋A / x⦌B)})
11	1, 10	eqtrd 2069	. 2 ⊢ (A ∈ 𝑉 → ⦋A / x⦌{z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)} = {z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ ⦋A / x⦌B)})
12		df-uni 3572	. . 3 ⊢ ∪ B = {z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)}
13	12	csbeq2i 2870	. 2 ⊢ ⦋A / x⦌∪ B = ⦋A / x⦌{z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ B)}
14		df-uni 3572	. 2 ⊢ ∪ ⦋A / x⦌B = {z ∣ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ ⦋A / x⦌B)}
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2094	1 ⊢ (A ∈ 𝑉 → ⦋A / x⦌∪ B = ∪ ⦋A / x⦌B)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  {cab 2023  [wsbc 2758  ⦋csb 2846  ∪ cuni 3571

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-uni 3572

This theorem is referenced by: (None)