ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cofunex2g Structured version   GIF version

Theorem cofunex2g 5658
Description: Existence of a composition when the second member is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
cofunex2g ((A 𝑉 Fun B) → (AB) V)

Proof of Theorem cofunex2g
StepHypRef Expression
1 cnvexg 4778 . . . 4 (A 𝑉A V)
2 cofunexg 5657 . . . 4 ((Fun B A V) → (BA) V)
31, 2sylan2 270 . . 3 ((Fun B A 𝑉) → (BA) V)
4 cnvco 4443 . . . . 5 (BA) = (AB)
5 cocnvcnv2 4755 . . . . 5 (AB) = (AB)
6 cocnvcnv1 4754 . . . . 5 (AB) = (AB)
74, 5, 63eqtrri 2043 . . . 4 (AB) = (BA)
8 cnvexg 4778 . . . 4 ((BA) V → (BA) V)
97, 8syl5eqel 2102 . . 3 ((BA) V → (AB) V)
103, 9syl 14 . 2 ((Fun B A 𝑉) → (AB) V)
1110ancoms 255 1 ((A 𝑉 Fun B) → (AB) V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wcel 1370  Vcvv 2531  ccnv 4267  ccom 4272  Fun wfun 4819
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-13 1381  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-coll 3842  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-un 4116
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-csb 2826  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-iun 3629  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832  df-fv 4833
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator