ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  codir Structured version   GIF version

Theorem codir 4656
Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
codir ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ x A y B z(x𝑅z y𝑅z))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,𝑅,y,z

Proof of Theorem codir
StepHypRef Expression
1 opelxp 4317 . . . 4 (⟨x, y (A × B) ↔ (x A y B))
2 df-br 3756 . . . . 5 (x(𝑅𝑅)y ↔ ⟨x, y (𝑅𝑅))
3 vex 2554 . . . . . 6 x V
4 vex 2554 . . . . . 6 y V
5 brcodir 4655 . . . . . 6 ((x V y V) → (x(𝑅𝑅)yz(x𝑅z y𝑅z)))
63, 4, 5mp2an 402 . . . . 5 (x(𝑅𝑅)yz(x𝑅z y𝑅z))
72, 6bitr3i 175 . . . 4 (⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ z(x𝑅z y𝑅z))
81, 7imbi12i 228 . . 3 ((⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅)) ↔ ((x A y B) → z(x𝑅z y𝑅z)))
982albii 1357 . 2 (xy(⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅)) ↔ xy((x A y B) → z(x𝑅z y𝑅z)))
10 relxp 4390 . . 3 Rel (A × B)
11 ssrel 4371 . . 3 (Rel (A × B) → ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ xy(⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅))))
1210, 11ax-mp 7 . 2 ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ xy(⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅)))
13 r2al 2337 . 2 (x A y B z(x𝑅z y𝑅z) ↔ xy((x A y B) → z(x𝑅z y𝑅z)))
149, 12, 133bitr4i 201 1 ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ x A y B z(x𝑅z y𝑅z))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240  wex 1378   wcel 1390  wral 2300  Vcvv 2551  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ccnv 4287  ccom 4292  Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator