ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  codir Structured version   GIF version

Theorem codir 4636
Description: Two ways of saying a relation is directed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
codir ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ x A y B z(x𝑅z y𝑅z))
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,𝑅,y,z

Proof of Theorem codir
StepHypRef Expression
1 opelxp 4297 . . . 4 (⟨x, y (A × B) ↔ (x A y B))
2 df-br 3735 . . . . 5 (x(𝑅𝑅)y ↔ ⟨x, y (𝑅𝑅))
3 vex 2534 . . . . . 6 x V
4 vex 2534 . . . . . 6 y V
5 brcodir 4635 . . . . . 6 ((x V y V) → (x(𝑅𝑅)yz(x𝑅z y𝑅z)))
63, 4, 5mp2an 404 . . . . 5 (x(𝑅𝑅)yz(x𝑅z y𝑅z))
72, 6bitr3i 175 . . . 4 (⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ z(x𝑅z y𝑅z))
81, 7imbi12i 228 . . 3 ((⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅)) ↔ ((x A y B) → z(x𝑅z y𝑅z)))
982albii 1336 . 2 (xy(⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅)) ↔ xy((x A y B) → z(x𝑅z y𝑅z)))
10 relxp 4370 . . 3 Rel (A × B)
11 ssrel 4351 . . 3 (Rel (A × B) → ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ xy(⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅))))
1210, 11ax-mp 7 . 2 ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ xy(⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅)))
13 r2al 2317 . 2 (x A y B z(x𝑅z y𝑅z) ↔ xy((x A y B) → z(x𝑅z y𝑅z)))
149, 12, 133bitr4i 201 1 ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ x A y B z(x𝑅z y𝑅z))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1224  wex 1358   wcel 1370  wral 2280  Vcvv 2531  wss 2890  cop 3349   class class class wbr 3734   × cxp 4266  ccnv 4267  ccom 4272  Rel wrel 4273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-br 3735  df-opab 3789  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator