ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cocan1 Structured version   GIF version

Theorem cocan1 5370
Description: An injection is left-cancelable. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cocan1 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → ((𝐹𝐻) = (𝐹𝐾) ↔ 𝐻 = 𝐾))

Proof of Theorem cocan1
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvco3 5187 . . . . . 6 ((𝐻:AB x A) → ((𝐹𝐻)‘x) = (𝐹‘(𝐻x)))
213ad2antl2 1066 . . . . 5 (((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) x A) → ((𝐹𝐻)‘x) = (𝐹‘(𝐻x)))
3 fvco3 5187 . . . . . 6 ((𝐾:AB x A) → ((𝐹𝐾)‘x) = (𝐹‘(𝐾x)))
433ad2antl3 1067 . . . . 5 (((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) x A) → ((𝐹𝐾)‘x) = (𝐹‘(𝐾x)))
52, 4eqeq12d 2051 . . . 4 (((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) x A) → (((𝐹𝐻)‘x) = ((𝐹𝐾)‘x) ↔ (𝐹‘(𝐻x)) = (𝐹‘(𝐾x))))
6 simpl1 906 . . . . 5 (((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) x A) → 𝐹:B1-1𝐶)
7 ffvelrn 5243 . . . . . 6 ((𝐻:AB x A) → (𝐻x) B)
873ad2antl2 1066 . . . . 5 (((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) x A) → (𝐻x) B)
9 ffvelrn 5243 . . . . . 6 ((𝐾:AB x A) → (𝐾x) B)
1093ad2antl3 1067 . . . . 5 (((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) x A) → (𝐾x) B)
11 f1fveq 5354 . . . . 5 ((𝐹:B1-1𝐶 ((𝐻x) B (𝐾x) B)) → ((𝐹‘(𝐻x)) = (𝐹‘(𝐾x)) ↔ (𝐻x) = (𝐾x)))
126, 8, 10, 11syl12anc 1132 . . . 4 (((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) x A) → ((𝐹‘(𝐻x)) = (𝐹‘(𝐾x)) ↔ (𝐻x) = (𝐾x)))
135, 12bitrd 177 . . 3 (((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) x A) → (((𝐹𝐻)‘x) = ((𝐹𝐾)‘x) ↔ (𝐻x) = (𝐾x)))
1413ralbidva 2316 . 2 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → (x A ((𝐹𝐻)‘x) = ((𝐹𝐾)‘x) ↔ x A (𝐻x) = (𝐾x)))
15 f1f 5035 . . . . . 6 (𝐹:B1-1𝐶𝐹:B𝐶)
16153ad2ant1 924 . . . . 5 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → 𝐹:B𝐶)
17 ffn 4989 . . . . 5 (𝐹:B𝐶𝐹 Fn B)
1816, 17syl 14 . . . 4 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → 𝐹 Fn B)
19 simp2 904 . . . 4 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → 𝐻:AB)
20 fnfco 5008 . . . 4 ((𝐹 Fn B 𝐻:AB) → (𝐹𝐻) Fn A)
2118, 19, 20syl2anc 391 . . 3 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → (𝐹𝐻) Fn A)
22 simp3 905 . . . 4 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → 𝐾:AB)
23 fnfco 5008 . . . 4 ((𝐹 Fn B 𝐾:AB) → (𝐹𝐾) Fn A)
2418, 22, 23syl2anc 391 . . 3 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → (𝐹𝐾) Fn A)
25 eqfnfv 5208 . . 3 (((𝐹𝐻) Fn A (𝐹𝐾) Fn A) → ((𝐹𝐻) = (𝐹𝐾) ↔ x A ((𝐹𝐻)‘x) = ((𝐹𝐾)‘x)))
2621, 24, 25syl2anc 391 . 2 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → ((𝐹𝐻) = (𝐹𝐾) ↔ x A ((𝐹𝐻)‘x) = ((𝐹𝐾)‘x)))
27 ffn 4989 . . . 4 (𝐻:AB𝐻 Fn A)
2819, 27syl 14 . . 3 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → 𝐻 Fn A)
29 ffn 4989 . . . 4 (𝐾:AB𝐾 Fn A)
3022, 29syl 14 . . 3 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → 𝐾 Fn A)
31 eqfnfv 5208 . . 3 ((𝐻 Fn A 𝐾 Fn A) → (𝐻 = 𝐾x A (𝐻x) = (𝐾x)))
3228, 30, 31syl2anc 391 . 2 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → (𝐻 = 𝐾x A (𝐻x) = (𝐾x)))
3314, 26, 323bitr4d 209 1 ((𝐹:B1-1𝐶 𝐻:AB 𝐾:AB) → ((𝐹𝐻) = (𝐹𝐾) ↔ 𝐻 = 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  ccom 4292   Fn wfn 4840  wf 4841  1-1wf1 4842  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator