Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cn1lem GIF version

Theorem cn1lem 9834
 Description: A sufficient condition for a function to be continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cn1lem.1 𝐹:ℂ⟶ℂ
cn1lem.2 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
Assertion
Ref Expression
cn1lem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem cn1lem
StepHypRef Expression
1 simpr 103 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2 simpr 103 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
3 simpll 481 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
4 cn1lem.2 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 391 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
6 cn1lem.1 . . . . . . . . 9 𝐹:ℂ⟶ℂ
76ffvelrni 5301 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
82, 7syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
96ffvelrni 5301 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
103, 9syl 14 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
118, 10subcld 7322 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴)) ∈ ℂ)
1211abscld 9777 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ∈ ℝ)
132, 3subcld 7322 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
1413abscld 9777 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ)
15 rpre 8589 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1615ad2antlr 458 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 lelttr 7106 . . . . 5 (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
1812, 14, 16, 17syl3anc 1135 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
195, 18mpand 405 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2019ralrimiva 2392 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
21 breq2 3768 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥))
2221imbi1d 220 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) ↔ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
2322ralbidv 2326 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
2423rspcev 2656 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
251, 20, 24syl2anc 391 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888   < clt 7060   ≤ cle 7061   − cmin 7182  ℝ+crp 8583  abscabs 9595 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597 This theorem is referenced by:  abscn2  9835  cjcn2  9836  recn2  9837  imcn2  9838
 Copyright terms: Public domain W3C validator