ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climle GIF version

Theorem climle 9827
Description: Comparison of the limits of two sequences. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climadd.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climadd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climadd.4 (𝜑𝐹𝐴)
climle.5 (𝜑𝐺𝐵)
climle.6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climle.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
climle.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climle (𝜑𝐴𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climle
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climadd.1 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climadd.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 climle.5 . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
4 zex 8252 . . . . . . . 8 ℤ ∈ V
5 uzssz 8490 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
64, 5ssexi 3895 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
71, 6eqeltri 2110 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
87mptex 5387 . . . . 5 (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ∈ V
98a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ∈ V)
10 climadd.4 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
11 climle.7 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1211recnd 7052 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
13 climle.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413recnd 7052 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
15 simpr 103 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
1611, 13resubcld 7377 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
17 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐺𝑗) = (𝐺𝑘))
18 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑘))
1917, 18oveq12d 5530 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
20 eqid 2040 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) = (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))
2119, 20fvmptg 5248 . . . . 5 ((𝑘𝑍 ∧ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
2215, 16, 21syl2anc 391 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) = ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
231, 2, 3, 9, 10, 12, 14, 22climsub 9821 . . 3 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗))) ⇝ (𝐵𝐴))
2422, 16eqeltrd 2114 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘) ∈ ℝ)
25 climle.8 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘))
2611, 13subge0d 7524 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)) ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝐺𝑘)))
2725, 26mpbird 156 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝐺𝑘) − (𝐹𝑘)))
2827, 22breqtrrd 3790 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ ((𝑗𝑍 ↦ ((𝐺𝑗) − (𝐹𝑗)))‘𝑘))
291, 2, 23, 24, 28climge0 9818 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (𝐵𝐴))
301, 2, 3, 11climrecl 9817 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
311, 2, 10, 13climrecl 9817 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3230, 31subge0d 7524 . 2 (𝜑 → (0 ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐴𝐵))
3329, 32mpbid 135 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  Vcvv 2557   class class class wbr 3764  cmpt 3818  cfv 4902  (class class class)co 5512  cr 6886  0cc0 6887  cle 7059  cmin 7180  cz 8243  cuz 8471  cli 9772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-mulrcl 6981  ax-addcom 6982  ax-mulcom 6983  ax-addass 6984  ax-mulass 6985  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-1rid 6989  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-precex 6992  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-apti 6997  ax-pre-ltadd 6998  ax-pre-mulgt0 6999  ax-pre-mulext 7000  ax-arch 7001  ax-caucvg 7002
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-reap 7564  df-ap 7571  df-div 7650  df-inn 7913  df-2 7971  df-3 7972  df-4 7973  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-rp 8582  df-iseq 9186  df-iexp 9229  df-cj 9416  df-re 9417  df-im 9418  df-rsqrt 9570  df-abs 9571  df-clim 9773
This theorem is referenced by:  climlec2  9834  iserile  9835
  Copyright terms: Public domain W3C validator