Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjreb Structured version   GIF version

Theorem cjreb 9094
 Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjreb (A ℂ → (A ℝ ↔ (∗‘A) = A))

Proof of Theorem cjreb
StepHypRef Expression
1 recl 9081 . . . . . 6 (A ℂ → (ℜ‘A) ℝ)
21recnd 6851 . . . . 5 (A ℂ → (ℜ‘A) ℂ)
3 ax-icn 6778 . . . . . 6 i
4 imcl 9082 . . . . . . 7 (A ℂ → (ℑ‘A) ℝ)
54recnd 6851 . . . . . 6 (A ℂ → (ℑ‘A) ℂ)
6 mulcl 6806 . . . . . 6 ((i (ℑ‘A) ℂ) → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
73, 5, 6sylancr 393 . . . . 5 (A ℂ → (i · (ℑ‘A)) ℂ)
82, 7negsubd 7124 . . . 4 (A ℂ → ((ℜ‘A) + -(i · (ℑ‘A))) = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))
9 mulneg2 7189 . . . . . 6 ((i (ℑ‘A) ℂ) → (i · -(ℑ‘A)) = -(i · (ℑ‘A)))
103, 5, 9sylancr 393 . . . . 5 (A ℂ → (i · -(ℑ‘A)) = -(i · (ℑ‘A)))
1110oveq2d 5471 . . . 4 (A ℂ → ((ℜ‘A) + (i · -(ℑ‘A))) = ((ℜ‘A) + -(i · (ℑ‘A))))
12 remim 9088 . . . 4 (A ℂ → (∗‘A) = ((ℜ‘A) − (i · (ℑ‘A))))
138, 11, 123eqtr4rd 2080 . . 3 (A ℂ → (∗‘A) = ((ℜ‘A) + (i · -(ℑ‘A))))
14 replim 9087 . . 3 (A ℂ → A = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))))
1513, 14eqeq12d 2051 . 2 (A ℂ → ((∗‘A) = A ↔ ((ℜ‘A) + (i · -(ℑ‘A))) = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A)))))
165negcld 7105 . . . 4 (A ℂ → -(ℑ‘A) ℂ)
17 mulcl 6806 . . . 4 ((i -(ℑ‘A) ℂ) → (i · -(ℑ‘A)) ℂ)
183, 16, 17sylancr 393 . . 3 (A ℂ → (i · -(ℑ‘A)) ℂ)
192, 18, 7addcand 6992 . 2 (A ℂ → (((ℜ‘A) + (i · -(ℑ‘A))) = ((ℜ‘A) + (i · (ℑ‘A))) ↔ (i · -(ℑ‘A)) = (i · (ℑ‘A))))
20 eqcom 2039 . . . 4 (-(ℑ‘A) = (ℑ‘A) ↔ (ℑ‘A) = -(ℑ‘A))
215eqnegd 7491 . . . 4 (A ℂ → ((ℑ‘A) = -(ℑ‘A) ↔ (ℑ‘A) = 0))
2220, 21syl5bb 181 . . 3 (A ℂ → (-(ℑ‘A) = (ℑ‘A) ↔ (ℑ‘A) = 0))
23 iap0 7925 . . . . . 6 i # 0
243, 23pm3.2i 257 . . . . 5 (i i # 0)
2524a1i 9 . . . 4 (A ℂ → (i i # 0))
26 mulcanap 7428 . . . 4 ((-(ℑ‘A) (ℑ‘A) (i i # 0)) → ((i · -(ℑ‘A)) = (i · (ℑ‘A)) ↔ -(ℑ‘A) = (ℑ‘A)))
2716, 5, 25, 26syl3anc 1134 . . 3 (A ℂ → ((i · -(ℑ‘A)) = (i · (ℑ‘A)) ↔ -(ℑ‘A) = (ℑ‘A)))
28 reim0b 9090 . . 3 (A ℂ → (A ℝ ↔ (ℑ‘A) = 0))
2922, 27, 283bitr4d 209 . 2 (A ℂ → ((i · -(ℑ‘A)) = (i · (ℑ‘A)) ↔ A ℝ))
3015, 19, 293bitrrd 204 1 (A ℂ → (A ℝ ↔ (∗‘A) = A))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  ici 6713   + caddc 6714   · cmul 6716   − cmin 6979  -cneg 6980   # cap 7365  ∗ccj 9067  ℜcre 9068  ℑcim 9069 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-2 7753  df-cj 9070  df-re 9071  df-im 9072 This theorem is referenced by:  cjre  9110  cjmulrcl  9115  cjrebi  9146  cjrebd  9174
 Copyright terms: Public domain W3C validator