Theorem cjexp 9081

Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cjexp	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(A↑𝑁)) = ((∗‘A)↑𝑁))

Proof of Theorem cjexp

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5463	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (A↑𝑗) = (A↑0))
2	1	fveq2d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (∗‘(A↑𝑗)) = (∗‘(A↑0)))
3		oveq2 5463	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∗‘A)↑𝑗) = ((∗‘A)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2051	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((∗‘(A↑𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗) ↔ (∗‘(A↑0)) = ((∗‘A)↑0)))
5	4	imbi2d 219	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((A ∈ ℂ → (∗‘(A↑𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗)) ↔ (A ∈ ℂ → (∗‘(A↑0)) = ((∗‘A)↑0))))
6		oveq2 5463	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (A↑𝑗) = (A↑𝑘))
7	6	fveq2d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (∗‘(A↑𝑗)) = (∗‘(A↑𝑘)))
8		oveq2 5463	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘A)↑𝑗) = ((∗‘A)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2051	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘(A↑𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗) ↔ (∗‘(A↑𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 219	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((A ∈ ℂ → (∗‘(A↑𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗)) ↔ (A ∈ ℂ → (∗‘(A↑𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘))))
11		oveq2 5463	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (A↑𝑗) = (A↑(𝑘 + 1)))
12	11	fveq2d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (∗‘(A↑𝑗)) = (∗‘(A↑(𝑘 + 1))))
13		oveq2 5463	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘A)↑𝑗) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2051	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘(A↑𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗) ↔ (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 219	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((A ∈ ℂ → (∗‘(A↑𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗)) ↔ (A ∈ ℂ → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 5463	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (A↑𝑗) = (A↑𝑁))
17	16	fveq2d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (∗‘(A↑𝑗)) = (∗‘(A↑𝑁)))
18		oveq2 5463	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘A)↑𝑗) = ((∗‘A)↑𝑁))
19	17, 18	eqeq12d 2051	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘(A↑𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗) ↔ (∗‘(A↑𝑁)) = ((∗‘A)↑𝑁)))
20	19	imbi2d 219	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((A ∈ ℂ → (∗‘(A↑𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗)) ↔ (A ∈ ℂ → (∗‘(A↑𝑁)) = ((∗‘A)↑𝑁))))
21		exp0 8873	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑0) = 1)
22	21	fveq2d 5125	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗‘(A↑0)) = (∗‘1))
23		cjcl 9036	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗‘A) ∈ ℂ)
24		exp0 8873	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘A) ∈ ℂ → ((∗‘A)↑0) = 1)
25		1re 6784	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		cjre 9070	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (∗‘1) = 1
28	24, 27	syl6eqr 2087	. . . . 5 ⊢ ((∗‘A) ∈ ℂ → ((∗‘A)↑0) = (∗‘1))
29	23, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ((∗‘A)↑0) = (∗‘1))
30	22, 29	eqtr4d 2072	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗‘(A↑0)) = ((∗‘A)↑0))
31		expp1 8876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (A↑(𝑘 + 1)) = ((A↑𝑘) · A))
32	31	fveq2d 5125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = (∗‘((A↑𝑘) · A)))
33		expcl 8887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (A↑𝑘) ∈ ℂ)
34		simpl 102	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → A ∈ ℂ)
35		cjmul 9073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A↑𝑘) ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → (∗‘((A↑𝑘) · A)) = ((∗‘(A↑𝑘)) · (∗‘A)))
36	33, 34, 35	syl2anc 391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((A↑𝑘) · A)) = ((∗‘(A↑𝑘)) · (∗‘A)))
37	32, 36	eqtrd 2069	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(A↑𝑘)) · (∗‘A)))
38	37	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(A↑𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘)) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(A↑𝑘)) · (∗‘A)))
39		oveq1 5462	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗‘(A↑𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘) → ((∗‘(A↑𝑘)) · (∗‘A)) = (((∗‘A)↑𝑘) · (∗‘A)))
40		expp1 8876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∗‘A) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘A)↑𝑘) · (∗‘A)))
41	23, 40	sylan 267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘A)↑𝑘) · (∗‘A)))
42	41	eqcomd 2042	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((∗‘A)↑𝑘) · (∗‘A)) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))
43	39, 42	sylan9eqr 2091	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(A↑𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘)) → ((∗‘(A↑𝑘)) · (∗‘A)) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))
44	38, 43	eqtrd 2069	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (∗‘(A↑𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘)) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))
45	44	exp31 346	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((∗‘(A↑𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))))
46	45	com12 27	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (A ∈ ℂ → ((∗‘(A↑𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))))
47	46	a2d 23	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((A ∈ ℂ → (∗‘(A↑𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘)) → (A ∈ ℂ → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))))
48	5, 10, 15, 20, 30, 47	nn0ind 8088	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (A ∈ ℂ → (∗‘(A↑𝑁)) = ((∗‘A)↑𝑁)))
49	48	impcom 116	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∗‘(A↑𝑁)) = ((∗‘A)↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℂcc 6669  ℝcr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   + caddc 6674   · cmul 6676  ℕ₀cn0 7917  ↑cexp 8868  ∗ccj 9027

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-2 7713  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-iseq 8853  df-iexp 8869  df-cj 9030  df-re 9031  df-im 9032

This theorem is referenced by:  cjexpd  9145