Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjexp Structured version   GIF version

Theorem cjexp 9121
 Description: Complex conjugate of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
cjexp ((A 𝑁 0) → (∗‘(A𝑁)) = ((∗‘A)↑𝑁))

Proof of Theorem cjexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (A𝑗) = (A↑0))
21fveq2d 5125 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (∗‘(A𝑗)) = (∗‘(A↑0)))
3 oveq2 5463 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((∗‘A)↑𝑗) = ((∗‘A)↑0))
42, 3eqeq12d 2051 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((∗‘(A𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗) ↔ (∗‘(A↑0)) = ((∗‘A)↑0)))
54imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = 0 → ((A ℂ → (∗‘(A𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗)) ↔ (A ℂ → (∗‘(A↑0)) = ((∗‘A)↑0))))
6 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (A𝑗) = (A𝑘))
76fveq2d 5125 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (∗‘(A𝑗)) = (∗‘(A𝑘)))
8 oveq2 5463 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘A)↑𝑗) = ((∗‘A)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2051 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((∗‘(A𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗) ↔ (∗‘(A𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘)))
109imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((A ℂ → (∗‘(A𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗)) ↔ (A ℂ → (∗‘(A𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘))))
11 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (A𝑗) = (A↑(𝑘 + 1)))
1211fveq2d 5125 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (∗‘(A𝑗)) = (∗‘(A↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 5463 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘A)↑𝑗) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2051 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((∗‘(A𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗) ↔ (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((A ℂ → (∗‘(A𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗)) ↔ (A ℂ → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5463 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (A𝑗) = (A𝑁))
1716fveq2d 5125 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (∗‘(A𝑗)) = (∗‘(A𝑁)))
18 oveq2 5463 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘A)↑𝑗) = ((∗‘A)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2051 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((∗‘(A𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗) ↔ (∗‘(A𝑁)) = ((∗‘A)↑𝑁)))
2019imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((A ℂ → (∗‘(A𝑗)) = ((∗‘A)↑𝑗)) ↔ (A ℂ → (∗‘(A𝑁)) = ((∗‘A)↑𝑁))))
21 exp0 8913 . . . . 5 (A ℂ → (A↑0) = 1)
2221fveq2d 5125 . . . 4 (A ℂ → (∗‘(A↑0)) = (∗‘1))
23 cjcl 9076 . . . . 5 (A ℂ → (∗‘A) ℂ)
24 exp0 8913 . . . . . 6 ((∗‘A) ℂ → ((∗‘A)↑0) = 1)
25 1re 6824 . . . . . . 7 1
26 cjre 9110 . . . . . . 7 (1 ℝ → (∗‘1) = 1)
2725, 26ax-mp 7 . . . . . 6 (∗‘1) = 1
2824, 27syl6eqr 2087 . . . . 5 ((∗‘A) ℂ → ((∗‘A)↑0) = (∗‘1))
2923, 28syl 14 . . . 4 (A ℂ → ((∗‘A)↑0) = (∗‘1))
3022, 29eqtr4d 2072 . . 3 (A ℂ → (∗‘(A↑0)) = ((∗‘A)↑0))
31 expp1 8916 . . . . . . . . . 10 ((A 𝑘 0) → (A↑(𝑘 + 1)) = ((A𝑘) · A))
3231fveq2d 5125 . . . . . . . . 9 ((A 𝑘 0) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = (∗‘((A𝑘) · A)))
33 expcl 8927 . . . . . . . . . 10 ((A 𝑘 0) → (A𝑘) ℂ)
34 simpl 102 . . . . . . . . . 10 ((A 𝑘 0) → A ℂ)
35 cjmul 9113 . . . . . . . . . 10 (((A𝑘) A ℂ) → (∗‘((A𝑘) · A)) = ((∗‘(A𝑘)) · (∗‘A)))
3633, 34, 35syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((A 𝑘 0) → (∗‘((A𝑘) · A)) = ((∗‘(A𝑘)) · (∗‘A)))
3732, 36eqtrd 2069 . . . . . . . 8 ((A 𝑘 0) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(A𝑘)) · (∗‘A)))
3837adantr 261 . . . . . . 7 (((A 𝑘 0) (∗‘(A𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘)) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘(A𝑘)) · (∗‘A)))
39 oveq1 5462 . . . . . . . 8 ((∗‘(A𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘) → ((∗‘(A𝑘)) · (∗‘A)) = (((∗‘A)↑𝑘) · (∗‘A)))
40 expp1 8916 . . . . . . . . . 10 (((∗‘A) 𝑘 0) → ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘A)↑𝑘) · (∗‘A)))
4123, 40sylan 267 . . . . . . . . 9 ((A 𝑘 0) → ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)) = (((∗‘A)↑𝑘) · (∗‘A)))
4241eqcomd 2042 . . . . . . . 8 ((A 𝑘 0) → (((∗‘A)↑𝑘) · (∗‘A)) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))
4339, 42sylan9eqr 2091 . . . . . . 7 (((A 𝑘 0) (∗‘(A𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘)) → ((∗‘(A𝑘)) · (∗‘A)) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))
4438, 43eqtrd 2069 . . . . . 6 (((A 𝑘 0) (∗‘(A𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘)) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))
4544exp31 346 . . . . 5 (A ℂ → (𝑘 0 → ((∗‘(A𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))))
4645com12 27 . . . 4 (𝑘 0 → (A ℂ → ((∗‘(A𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘) → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))))
4746a2d 23 . . 3 (𝑘 0 → ((A ℂ → (∗‘(A𝑘)) = ((∗‘A)↑𝑘)) → (A ℂ → (∗‘(A↑(𝑘 + 1))) = ((∗‘A)↑(𝑘 + 1)))))
485, 10, 15, 20, 30, 47nn0ind 8128 . 2 (𝑁 0 → (A ℂ → (∗‘(A𝑁)) = ((∗‘A)↑𝑁)))
4948impcom 116 1 ((A 𝑁 0) → (∗‘(A𝑁)) = ((∗‘A)↑𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716  ℕ0cn0 7957  ↑cexp 8908  ∗ccj 9067 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-2 7753  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909  df-cj 9070  df-re 9071  df-im 9072 This theorem is referenced by:  cjexpd  9185
 Copyright terms: Public domain W3C validator