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Theorem cbvrexcsf 2887
Description: A more general version of cbvrexf 2504 that has no distinct variable restrictions. Changes bound variables using implicit substitution. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Jul-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvralcsf.1 yA
cbvralcsf.2 xB
cbvralcsf.3 yφ
cbvralcsf.4 xψ
cbvralcsf.5 (x = yA = B)
cbvralcsf.6 (x = y → (φψ))
Assertion
Ref Expression
cbvrexcsf (x A φy B ψ)

Proof of Theorem cbvrexcsf
Dummy variables v z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1403 . . . 4 z(x A φ)
2 nfcsb1v 2858 . . . . . 6 xz / xA
32nfcri 2154 . . . . 5 x z z / xA
4 nfsbc1v 2757 . . . . 5 x[z / x]φ
53, 4nfan 1441 . . . 4 x(z z / xA [z / x]φ)
6 id 19 . . . . . 6 (x = zx = z)
7 csbeq1a 2836 . . . . . 6 (x = zA = z / xA)
86, 7eleq12d 2090 . . . . 5 (x = z → (x Az z / xA))
9 sbceq1a 2748 . . . . 5 (x = z → (φ[z / x]φ))
108, 9anbi12d 445 . . . 4 (x = z → ((x A φ) ↔ (z z / xA [z / x]φ)))
111, 5, 10cbvex 1621 . . 3 (x(x A φ) ↔ z(z z / xA [z / x]φ))
12 nfcv 2160 . . . . . . 7 yz
13 cbvralcsf.1 . . . . . . 7 yA
1412, 13nfcsb 2860 . . . . . 6 yz / xA
1514nfcri 2154 . . . . 5 y z z / xA
16 cbvralcsf.3 . . . . . 6 yφ
1712, 16nfsbc 2759 . . . . 5 y[z / x]φ
1815, 17nfan 1441 . . . 4 y(z z / xA [z / x]φ)
19 nfv 1403 . . . 4 z(y B ψ)
20 id 19 . . . . . 6 (z = yz = y)
21 csbeq1 2831 . . . . . . 7 (z = yz / xA = y / xA)
22 df-csb 2829 . . . . . . . 8 y / xA = {v[y / x]v A}
23 cbvralcsf.2 . . . . . . . . . . . 12 xB
2423nfcri 2154 . . . . . . . . . . 11 x v B
25 cbvralcsf.5 . . . . . . . . . . . 12 (x = yA = B)
2625eleq2d 2089 . . . . . . . . . . 11 (x = y → (v Av B))
2724, 26sbie 1656 . . . . . . . . . 10 ([y / x]v Av B)
28 sbsbc 2743 . . . . . . . . . 10 ([y / x]v A[y / x]v A)
2927, 28bitr3i 175 . . . . . . . . 9 (v B[y / x]v A)
3029abbi2i 2134 . . . . . . . 8 B = {v[y / x]v A}
3122, 30eqtr4i 2045 . . . . . . 7 y / xA = B
3221, 31syl6eq 2070 . . . . . 6 (z = yz / xA = B)
3320, 32eleq12d 2090 . . . . 5 (z = y → (z z / xAy B))
34 dfsbcq 2741 . . . . . 6 (z = y → ([z / x]φ[y / x]φ))
35 sbsbc 2743 . . . . . . 7 ([y / x]φ[y / x]φ)
36 cbvralcsf.4 . . . . . . . 8 xψ
37 cbvralcsf.6 . . . . . . . 8 (x = y → (φψ))
3836, 37sbie 1656 . . . . . . 7 ([y / x]φψ)
3935, 38bitr3i 175 . . . . . 6 ([y / x]φψ)
4034, 39syl6bb 185 . . . . 5 (z = y → ([z / x]φψ))
4133, 40anbi12d 445 . . . 4 (z = y → ((z z / xA [z / x]φ) ↔ (y B ψ)))
4218, 19, 41cbvex 1621 . . 3 (z(z z / xA [z / x]φ) ↔ y(y B ψ))
4311, 42bitri 173 . 2 (x(x A φ) ↔ y(y B ψ))
44 df-rex 2288 . 2 (x A φx(x A φ))
45 df-rex 2288 . 2 (y B ψy(y B ψ))
4643, 44, 453bitr4i 201 1 (x A φy B ψ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wnf 1328  wex 1361   = wceq 1373   wcel 1375  [wsb 1627  {cab 2008  wnfc 2147  wrex 2283  [wsbc 2739  csb 2828
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1315  ax-7 1316  ax-gen 1317  ax-ie1 1362  ax-ie2 1363  ax-8 1377  ax-10 1378  ax-11 1379  ax-i12 1380  ax-bnd 1381  ax-4 1382  ax-17 1401  ax-i9 1405  ax-ial 1410  ax-i5r 1411  ax-ext 2004
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1329  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-rex 2288  df-sbc 2740  df-csb 2829
This theorem is referenced by:  cbvrexv2  2891
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