ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cbvreucsf Structured version   GIF version

Theorem cbvreucsf 2887
Description: A more general version of cbvreuv 2513 that has no distinct variable rextrictions. Changes bound variables using implicit substitution. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Jul-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvralcsf.1 yA
cbvralcsf.2 xB
cbvralcsf.3 yφ
cbvralcsf.4 xψ
cbvralcsf.5 (x = yA = B)
cbvralcsf.6 (x = y → (φψ))
Assertion
Ref Expression
cbvreucsf (∃!x A φ∃!y B ψ)

Proof of Theorem cbvreucsf
Dummy variables v z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1402 . . . 4 z(x A φ)
2 nfcsb1v 2859 . . . . . 6 xz / xA
32nfcri 2154 . . . . 5 x z z / xA
4 nfs1v 1797 . . . . 5 x[z / x]φ
53, 4nfan 1439 . . . 4 x(z z / xA [z / x]φ)
6 id 19 . . . . . 6 (x = zx = z)
7 csbeq1a 2837 . . . . . 6 (x = zA = z / xA)
86, 7eleq12d 2090 . . . . 5 (x = z → (x Az z / xA))
9 sbequ12 1636 . . . . 5 (x = z → (φ ↔ [z / x]φ))
108, 9anbi12d 445 . . . 4 (x = z → ((x A φ) ↔ (z z / xA [z / x]φ)))
111, 5, 10cbveu 1906 . . 3 (∃!x(x A φ) ↔ ∃!z(z z / xA [z / x]φ))
12 nfcv 2160 . . . . . . 7 yz
13 cbvralcsf.1 . . . . . . 7 yA
1412, 13nfcsb 2861 . . . . . 6 yz / xA
1514nfcri 2154 . . . . 5 y z z / xA
16 cbvralcsf.3 . . . . . 6 yφ
1716nfsb 1804 . . . . 5 y[z / x]φ
1815, 17nfan 1439 . . . 4 y(z z / xA [z / x]φ)
19 nfv 1402 . . . 4 z(y B ψ)
20 id 19 . . . . . 6 (z = yz = y)
21 csbeq1 2832 . . . . . . 7 (z = yz / xA = y / xA)
22 sbsbc 2745 . . . . . . . . 9 ([y / x]v A[y / x]v A)
2322abbii 2135 . . . . . . . 8 {v ∣ [y / x]v A} = {v[y / x]v A}
24 cbvralcsf.2 . . . . . . . . . . . 12 xB
2524nfcri 2154 . . . . . . . . . . 11 x v B
26 cbvralcsf.5 . . . . . . . . . . . 12 (x = yA = B)
2726eleq2d 2089 . . . . . . . . . . 11 (x = y → (v Av B))
2825, 27sbie 1656 . . . . . . . . . 10 ([y / x]v Av B)
2928bicomi 123 . . . . . . . . 9 (v B ↔ [y / x]v A)
3029abbi2i 2134 . . . . . . . 8 B = {v ∣ [y / x]v A}
31 df-csb 2830 . . . . . . . 8 y / xA = {v[y / x]v A}
3223, 30, 313eqtr4ri 2053 . . . . . . 7 y / xA = B
3321, 32syl6eq 2070 . . . . . 6 (z = yz / xA = B)
3420, 33eleq12d 2090 . . . . 5 (z = y → (z z / xAy B))
35 sbequ 1703 . . . . . 6 (z = y → ([z / x]φ ↔ [y / x]φ))
36 cbvralcsf.4 . . . . . . 7 xψ
37 cbvralcsf.6 . . . . . . 7 (x = y → (φψ))
3836, 37sbie 1656 . . . . . 6 ([y / x]φψ)
3935, 38syl6bb 185 . . . . 5 (z = y → ([z / x]φψ))
4034, 39anbi12d 445 . . . 4 (z = y → ((z z / xA [z / x]φ) ↔ (y B ψ)))
4118, 19, 40cbveu 1906 . . 3 (∃!z(z z / xA [z / x]φ) ↔ ∃!y(y B ψ))
4211, 41bitri 173 . 2 (∃!x(x A φ) ↔ ∃!y(y B ψ))
43 df-reu 2291 . 2 (∃!x A φ∃!x(x A φ))
44 df-reu 2291 . 2 (∃!y B ψ∃!y(y B ψ))
4542, 43, 443bitr4i 201 1 (∃!x A φ∃!y B ψ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1228  wnf 1329   wcel 1374  [wsb 1627  ∃!weu 1882  {cab 2008  wnfc 2147  ∃!wreu 2286  [wsbc 2741  csb 2829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-reu 2291  df-sbc 2742  df-csb 2830
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator