ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cbvreucsf Structured version   GIF version

Theorem cbvreucsf 2904
Description: A more general version of cbvreuv 2529 that has no distinct variable rextrictions. Changes bound variables using implicit substitution. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Jul-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cbvralcsf.1 yA
cbvralcsf.2 xB
cbvralcsf.3 yφ
cbvralcsf.4 xψ
cbvralcsf.5 (x = yA = B)
cbvralcsf.6 (x = y → (φψ))
Assertion
Ref Expression
cbvreucsf (∃!x A φ∃!y B ψ)

Proof of Theorem cbvreucsf
Dummy variables v z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1418 . . . 4 z(x A φ)
2 nfcsb1v 2876 . . . . . 6 xz / xA
32nfcri 2169 . . . . 5 x z z / xA
4 nfs1v 1812 . . . . 5 x[z / x]φ
53, 4nfan 1454 . . . 4 x(z z / xA [z / x]φ)
6 id 19 . . . . . 6 (x = zx = z)
7 csbeq1a 2854 . . . . . 6 (x = zA = z / xA)
86, 7eleq12d 2105 . . . . 5 (x = z → (x Az z / xA))
9 sbequ12 1651 . . . . 5 (x = z → (φ ↔ [z / x]φ))
108, 9anbi12d 442 . . . 4 (x = z → ((x A φ) ↔ (z z / xA [z / x]φ)))
111, 5, 10cbveu 1921 . . 3 (∃!x(x A φ) ↔ ∃!z(z z / xA [z / x]φ))
12 nfcv 2175 . . . . . . 7 yz
13 cbvralcsf.1 . . . . . . 7 yA
1412, 13nfcsb 2878 . . . . . 6 yz / xA
1514nfcri 2169 . . . . 5 y z z / xA
16 cbvralcsf.3 . . . . . 6 yφ
1716nfsb 1819 . . . . 5 y[z / x]φ
1815, 17nfan 1454 . . . 4 y(z z / xA [z / x]φ)
19 nfv 1418 . . . 4 z(y B ψ)
20 id 19 . . . . . 6 (z = yz = y)
21 csbeq1 2849 . . . . . . 7 (z = yz / xA = y / xA)
22 sbsbc 2762 . . . . . . . . 9 ([y / x]v A[y / x]v A)
2322abbii 2150 . . . . . . . 8 {v ∣ [y / x]v A} = {v[y / x]v A}
24 cbvralcsf.2 . . . . . . . . . . . 12 xB
2524nfcri 2169 . . . . . . . . . . 11 x v B
26 cbvralcsf.5 . . . . . . . . . . . 12 (x = yA = B)
2726eleq2d 2104 . . . . . . . . . . 11 (x = y → (v Av B))
2825, 27sbie 1671 . . . . . . . . . 10 ([y / x]v Av B)
2928bicomi 123 . . . . . . . . 9 (v B ↔ [y / x]v A)
3029abbi2i 2149 . . . . . . . 8 B = {v ∣ [y / x]v A}
31 df-csb 2847 . . . . . . . 8 y / xA = {v[y / x]v A}
3223, 30, 313eqtr4ri 2068 . . . . . . 7 y / xA = B
3321, 32syl6eq 2085 . . . . . 6 (z = yz / xA = B)
3420, 33eleq12d 2105 . . . . 5 (z = y → (z z / xAy B))
35 sbequ 1718 . . . . . 6 (z = y → ([z / x]φ ↔ [y / x]φ))
36 cbvralcsf.4 . . . . . . 7 xψ
37 cbvralcsf.6 . . . . . . 7 (x = y → (φψ))
3836, 37sbie 1671 . . . . . 6 ([y / x]φψ)
3935, 38syl6bb 185 . . . . 5 (z = y → ([z / x]φψ))
4034, 39anbi12d 442 . . . 4 (z = y → ((z z / xA [z / x]φ) ↔ (y B ψ)))
4118, 19, 40cbveu 1921 . . 3 (∃!z(z z / xA [z / x]φ) ↔ ∃!y(y B ψ))
4211, 41bitri 173 . 2 (∃!x(x A φ) ↔ ∃!y(y B ψ))
43 df-reu 2307 . 2 (∃!x A φ∃!x(x A φ))
44 df-reu 2307 . 2 (∃!y B ψ∃!y(y B ψ))
4542, 43, 443bitr4i 201 1 (∃!x A φ∃!y B ψ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wnf 1346   wcel 1390  [wsb 1642  ∃!weu 1897  {cab 2023  wnfc 2162  ∃!wreu 2302  [wsbc 2758  csb 2846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-reu 2307  df-sbc 2759  df-csb 2847
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator