ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemoffgt1 GIF version

Theorem caucvgsrlemoffgt1 6881
Description: Lemma for caucvgsr 6884. Offsetting the values of the sequence so they are greater than one. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f (𝜑𝐹:NR)
caucvgsr.cau (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
caucvgsrlembnd.bnd (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
caucvgsrlembnd.offset 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemoffgt1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐺𝑚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑚   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑘,𝑛,𝑙)   𝐹(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑙)   𝐺(𝑢,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem caucvgsrlemoffgt1
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlembnd.bnd . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑚N 𝐴 <R (𝐹𝑚))
21r19.21bi 2407 . . . . . 6 ((𝜑𝑚N) → 𝐴 <R (𝐹𝑚))
3 ltasrg 6853 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔RR) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ ( +R 𝑓) <R ( +R 𝑔)))
43adantl 262 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚N) ∧ (𝑓R𝑔RR)) → (𝑓 <R 𝑔 ↔ ( +R 𝑓) <R ( +R 𝑔)))
51caucvgsrlemasr 6872 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴R)
65adantr 261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚N) → 𝐴R)
7 caucvgsr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:NR)
87ffvelrnda 5302 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚N) → (𝐹𝑚) ∈ R)
9 1sr 6834 . . . . . . . 8 1RR
109a1i 9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚N) → 1RR)
11 addcomsrg 6838 . . . . . . . 8 ((𝑓R𝑔R) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
1211adantl 262 . . . . . . 7 (((𝜑𝑚N) ∧ (𝑓R𝑔R)) → (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓))
134, 6, 8, 10, 12caovord2d 5670 . . . . . 6 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 <R (𝐹𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R ((𝐹𝑚) +R 1R)))
142, 13mpbid 135 . . . . 5 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 +R 1R) <R ((𝐹𝑚) +R 1R))
15 caucvgsr.cau . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛N𝑘N (𝑛 <N 𝑘 → ((𝐹𝑛) <R ((𝐹𝑘) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ) ∧ (𝐹𝑘) <R ((𝐹𝑛) +R [⟨(⟨{𝑙𝑙 <Q (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q )}, {𝑢 ∣ (*Q‘[⟨𝑛, 1𝑜⟩] ~Q ) <Q 𝑢}⟩ +P 1P), 1P⟩] ~R ))))
16 caucvgsrlembnd.offset . . . . . 6 𝐺 = (𝑎N ↦ (((𝐹𝑎) +R 1R) +R (𝐴 ·R -1R)))
177, 15, 1, 16caucvgsrlemoffval 6878 . . . . 5 ((𝜑𝑚N) → ((𝐺𝑚) +R 𝐴) = ((𝐹𝑚) +R 1R))
1814, 17breqtrrd 3790 . . . 4 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 +R 1R) <R ((𝐺𝑚) +R 𝐴))
197, 15, 1, 16caucvgsrlemofff 6879 . . . . . 6 (𝜑𝐺:NR)
2019ffvelrnda 5302 . . . . 5 ((𝜑𝑚N) → (𝐺𝑚) ∈ R)
21 addcomsrg 6838 . . . . 5 (((𝐺𝑚) ∈ R𝐴R) → ((𝐺𝑚) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐺𝑚)))
2220, 6, 21syl2anc 391 . . . 4 ((𝜑𝑚N) → ((𝐺𝑚) +R 𝐴) = (𝐴 +R (𝐺𝑚)))
2318, 22breqtrd 3788 . . 3 ((𝜑𝑚N) → (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺𝑚)))
24 ltasrg 6853 . . . 4 ((1RR ∧ (𝐺𝑚) ∈ R𝐴R) → (1R <R (𝐺𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺𝑚))))
2510, 20, 6, 24syl3anc 1135 . . 3 ((𝜑𝑚N) → (1R <R (𝐺𝑚) ↔ (𝐴 +R 1R) <R (𝐴 +R (𝐺𝑚))))
2623, 25mpbird 156 . 2 ((𝜑𝑚N) → 1R <R (𝐺𝑚))
2726ralrimiva 2392 1 (𝜑 → ∀𝑚N 1R <R (𝐺𝑚))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  w3a 885   = wceq 1243  wcel 1393  {cab 2026  wral 2306  cop 3378   class class class wbr 3764  cmpt 3818  wf 4898  cfv 4902  (class class class)co 5512  1𝑜c1o 5994  [cec 6104  Ncnpi 6368   <N clti 6371   ~Q ceq 6375  *Qcrq 6380   <Q cltq 6381  1Pc1p 6388   +P cpp 6389   ~R cer 6392  Rcnr 6393  1Rc1r 6395  -1Rcm1r 6396   +R cplr 6397   ·R cmr 6398   <R cltr 6399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-imp 6565  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-plr 6811  df-mr 6812  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-m1r 6816
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffres  6882
  Copyright terms: Public domain W3C validator