Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgrelemcau GIF version

Theorem caucvgrelemcau 9579
 Description: Lemma for caucvgre 9580. Converting the Cauchy condition. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgre.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
caucvgre.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
Assertion
Ref Expression
caucvgrelemcau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝑘,𝑟,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐹(𝑟)

Proof of Theorem caucvgrelemcau
StepHypRef Expression
1 simplr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
21nnred 7927 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
3 simpr 103 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
43nnred 7927 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
5 ltle 7105 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘𝑛𝑘))
62, 4, 5syl2anc 391 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘𝑛𝑘))
7 eluznn 8538 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87ex 108 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ))
9 nnz 8264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
10 eluz1 8477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘)))
119, 10syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘)))
12 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘) → 𝑛𝑘)
1311, 12syl6bi 152 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑛𝑘))
148, 13jcad 291 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
15 nnz 8264 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1615anim1i 323 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛𝑘))
1716, 11syl5ibr 145 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)))
1814, 17impbid 120 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
1918adantl 262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)))
2019biimpar 281 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛))
21 caucvgre.cau . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2221r19.21bi 2407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2322r19.21bi 2407 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2420, 23syldan 266 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑘)) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
2524expr 357 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))))
266, 25syld 40 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))))
27 ltxrlt 7085 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑘𝑛 < 𝑘))
282, 4, 27syl2anc 391 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘𝑛 < 𝑘))
29 caucvgre.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
3029ad2antrr 457 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
3130, 1ffvelrnd 5303 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
3230, 3ffvelrnd 5303 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
331nnrecred 7960 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3432, 33readdcld 7055 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
35 ltxrlt 7085 . . . . . . 7 (((𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
3631, 34, 35syl2anc 391 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
37 nnap0 7943 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 # 0)
381, 37syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛 # 0)
39 caucvgrelemrec 9578 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑛 # 0) → (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
402, 38, 39syl2anc 391 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1) = (1 / 𝑛))
4140oveq2d 5528 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)))
4241breq2d 3776 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛))))
4336, 42bitr4d 180 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
4431, 33readdcld 7055 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
45 ltxrlt 7085 . . . . . . 7 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4632, 44, 45syl2anc 391 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4740oveq2d 5528 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) = ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)))
4847breq2d 3776 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))))
4946, 48bitr4d 180 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛)) ↔ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1))))
5043, 49anbi12d 442 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (1 / 𝑛))) ↔ ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5126, 28, 503imtr3d 191 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5251ralrimiva 2392 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
5352ralrimiva 2392 1 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑘 → ((𝐹𝑛) < ((𝐹𝑘) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)) ∧ (𝐹𝑘) < ((𝐹𝑛) + (𝑟 ∈ ℝ (𝑛 · 𝑟) = 1)))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306   class class class wbr 3764  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902  ℩crio 5467  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   <ℝ cltrr 6893   · cmul 6894   < clt 7060   ≤ cle 7061   # cap 7572   / cdiv 7651  ℕcn 7914  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-z 8246  df-uz 8474 This theorem is referenced by:  caucvgre  9580
 Copyright terms: Public domain W3C validator