ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bndndx Structured version   GIF version

Theorem bndndx 7936
Description: A bounded real sequence A(𝑘) is less than or equal to at least one of its indices. (Contributed by NM, 18-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
bndndx (x 𝑘 ℕ (A Ax) → 𝑘 A𝑘)
Distinct variable groups:   x,A   x,𝑘
Allowed substitution hint:   A(𝑘)

Proof of Theorem bndndx
StepHypRef Expression
1 arch 7934 . . . 4 (x ℝ → 𝑘 x < 𝑘)
2 nnre 7682 . . . . . 6 (𝑘 ℕ → 𝑘 ℝ)
3 lelttr 6883 . . . . . . . . . . 11 ((A x 𝑘 ℝ) → ((Ax x < 𝑘) → A < 𝑘))
4 ltle 6882 . . . . . . . . . . . 12 ((A 𝑘 ℝ) → (A < 𝑘A𝑘))
543adant2 922 . . . . . . . . . . 11 ((A x 𝑘 ℝ) → (A < 𝑘A𝑘))
63, 5syld 40 . . . . . . . . . 10 ((A x 𝑘 ℝ) → ((Ax x < 𝑘) → A𝑘))
76exp5o 1122 . . . . . . . . 9 (A ℝ → (x ℝ → (𝑘 ℝ → (Ax → (x < 𝑘A𝑘)))))
87com3l 75 . . . . . . . 8 (x ℝ → (𝑘 ℝ → (A ℝ → (Ax → (x < 𝑘A𝑘)))))
98imp4b 332 . . . . . . 7 ((x 𝑘 ℝ) → ((A Ax) → (x < 𝑘A𝑘)))
109com23 72 . . . . . 6 ((x 𝑘 ℝ) → (x < 𝑘 → ((A Ax) → A𝑘)))
112, 10sylan2 270 . . . . 5 ((x 𝑘 ℕ) → (x < 𝑘 → ((A Ax) → A𝑘)))
1211reximdva 2415 . . . 4 (x ℝ → (𝑘 x < 𝑘𝑘 ℕ ((A Ax) → A𝑘)))
131, 12mpd 13 . . 3 (x ℝ → 𝑘 ℕ ((A Ax) → A𝑘))
14 r19.35-1 2454 . . 3 (𝑘 ℕ ((A Ax) → A𝑘) → (𝑘 ℕ (A Ax) → 𝑘 A𝑘))
1513, 14syl 14 . 2 (x ℝ → (𝑘 ℕ (A Ax) → 𝑘 A𝑘))
1615rexlimiv 2421 1 (x 𝑘 ℕ (A Ax) → 𝑘 A𝑘)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   class class class wbr 3755  cr 6690   < clt 6837  cle 6838  cn 7675
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1re 6757  ax-addrcl 6760  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-arch 6782
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-inn 7676
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator