Theorem bm1.1 2022

Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.1.1	⊢ Ⅎxφ

Assertion

Ref	Expression
bm1.1	⊢ (∃x∀y(y ∈ x ↔ φ) → ∃!x∀y(y ∈ x ↔ φ))

Distinct variable group:   x,y

Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem bm1.1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1418	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎx y ∈ z
2		bm1.1.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎxφ
3	1, 2	nfbi 1478	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎx(y ∈ z ↔ φ)
4	3	nfal 1465	. . . . . 6 ⊢ Ⅎx∀y(y ∈ z ↔ φ)
5		elequ2 1598	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → (y ∈ x ↔ y ∈ z))
6	5	bibi1d 222	. . . . . . 7 ⊢ (x = z → ((y ∈ x ↔ φ) ↔ (y ∈ z ↔ φ)))
7	6	albidv 1702	. . . . . 6 ⊢ (x = z → (∀y(y ∈ x ↔ φ) ↔ ∀y(y ∈ z ↔ φ)))
8	4, 7	sbie 1671	. . . . 5 ⊢ ([z / x]∀y(y ∈ x ↔ φ) ↔ ∀y(y ∈ z ↔ φ))
9		19.26 1367	. . . . . 6 ⊢ (∀y((y ∈ x ↔ φ) ∧ (y ∈ z ↔ φ)) ↔ (∀y(y ∈ x ↔ φ) ∧ ∀y(y ∈ z ↔ φ)))
10		biantr 858	. . . . . . . 8 ⊢ (((y ∈ x ↔ φ) ∧ (y ∈ z ↔ φ)) → (y ∈ x ↔ y ∈ z))
11	10	alimi 1341	. . . . . . 7 ⊢ (∀y((y ∈ x ↔ φ) ∧ (y ∈ z ↔ φ)) → ∀y(y ∈ x ↔ y ∈ z))
12		ax-ext 2019	. . . . . . 7 ⊢ (∀y(y ∈ x ↔ y ∈ z) → x = z)
13	11, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (∀y((y ∈ x ↔ φ) ∧ (y ∈ z ↔ φ)) → x = z)
14	9, 13	sylbir 125	. . . . 5 ⊢ ((∀y(y ∈ x ↔ φ) ∧ ∀y(y ∈ z ↔ φ)) → x = z)
15	8, 14	sylan2b 271	. . . 4 ⊢ ((∀y(y ∈ x ↔ φ) ∧ [z / x]∀y(y ∈ x ↔ φ)) → x = z)
16	15	gen2 1336	. . 3 ⊢ ∀x∀z((∀y(y ∈ x ↔ φ) ∧ [z / x]∀y(y ∈ x ↔ φ)) → x = z)
17	16	jctr 298	. 2 ⊢ (∃x∀y(y ∈ x ↔ φ) → (∃x∀y(y ∈ x ↔ φ) ∧ ∀x∀z((∀y(y ∈ x ↔ φ) ∧ [z / x]∀y(y ∈ x ↔ φ)) → x = z)))
18		nfv 1418	. . 3 ⊢ Ⅎz∀y(y ∈ x ↔ φ)
19	18	eu2 1941	. 2 ⊢ (∃!x∀y(y ∈ x ↔ φ) ↔ (∃x∀y(y ∈ x ↔ φ) ∧ ∀x∀z((∀y(y ∈ x ↔ φ) ∧ [z / x]∀y(y ∈ x ↔ φ)) → x = z)))
20	17, 19	sylibr 137	1 ⊢ (∃x∀y(y ∈ x ↔ φ) → ∃!x∀y(y ∈ x ↔ φ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1240  Ⅎwnf 1346  ∃wex 1378  [wsb 1642  ∃!weu 1897

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900

This theorem is referenced by:  zfnuleu  3872