Theorem bj-zfpair2 9295

Description: Proof of zfpair2 3936 using only bounded separation. (Contributed by BJ, 5-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-zfpair2	⊢ {x, y} ∈ V

Proof of Theorem bj-zfpair2

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-bdeq 9209	. . . . 5 ⊢ BOUNDED w = x
2		ax-bdeq 9209	. . . . 5 ⊢ BOUNDED w = y
3	1, 2	ax-bdor 9205	. . . 4 ⊢ BOUNDED (w = x ∨ w = y)
4		ax-pr 3935	. . . 4 ⊢ ∃z∀w((w = x ∨ w = y) → w ∈ z)
5	3, 4	bdbm1.3ii 9279	. . 3 ⊢ ∃z∀w(w ∈ z ↔ (w = x ∨ w = y))
6		dfcleq 2031	. . . . 5 ⊢ (z = {x, y} ↔ ∀w(w ∈ z ↔ w ∈ {x, y}))
7		vex 2554	. . . . . . . 8 ⊢ w ∈ V
8	7	elpr 3385	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ {x, y} ↔ (w = x ∨ w = y))
9	8	bibi2i 216	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ z ↔ w ∈ {x, y}) ↔ (w ∈ z ↔ (w = x ∨ w = y)))
10	9	albii 1356	. . . . 5 ⊢ (∀w(w ∈ z ↔ w ∈ {x, y}) ↔ ∀w(w ∈ z ↔ (w = x ∨ w = y)))
11	6, 10	bitri 173	. . . 4 ⊢ (z = {x, y} ↔ ∀w(w ∈ z ↔ (w = x ∨ w = y)))
12	11	exbii 1493	. . 3 ⊢ (∃z z = {x, y} ↔ ∃z∀w(w ∈ z ↔ (w = x ∨ w = y)))
13	5, 12	mpbir 134	. 2 ⊢ ∃z z = {x, y}
14	13	issetri 2558	1 ⊢ {x, y} ∈ V

Syntax hints:   ↔ wb 98   ∨ wo 628  ∀wal 1240   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551  {cpr 3368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-pr 3935  ax-bdor 9205  ax-bdeq 9209  ax-bdsep 9273

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374

This theorem is referenced by:  bj-prexg  9296