Theorem bj-uniex2 8489

Description: uniex2 4114 from bounded separation. (Contributed by BJ, 15-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-uniex2	⊢ ∃y y = ∪ x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem bj-uniex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcuni 8453	. . . 4 ⊢ BOUNDED ∪ x
2	1	bdeli 8423	. . 3 ⊢ BOUNDED z ∈ ∪ x
3		zfun 4112	. . . 4 ⊢ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y)
4		eluni 3549	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ ∪ x ↔ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x))
5	4	imbi1i 227	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ ∪ x → z ∈ y) ↔ (∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y))
6	5	albii 1335	. . . . 5 ⊢ (∀z(z ∈ ∪ x → z ∈ y) ↔ ∀z(∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y))
7	6	exbii 1472	. . . 4 ⊢ (∃y∀z(z ∈ ∪ x → z ∈ y) ↔ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y))
8	3, 7	mpbir 134	. . 3 ⊢ ∃y∀z(z ∈ ∪ x → z ∈ y)
9	2, 8	bdbm1.3ii 8467	. 2 ⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ z ∈ ∪ x)
10		dfcleq 2010	. . 3 ⊢ (y = ∪ x ↔ ∀z(z ∈ y ↔ z ∈ ∪ x))
11	10	exbii 1472	. 2 ⊢ (∃y y = ∪ x ↔ ∃y∀z(z ∈ y ↔ z ∈ ∪ x))
12	9, 11	mpbir 134	1 ⊢ ∃y y = ∪ x

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1224   = wceq 1226  ∃wex 1357   ∈ wcel 1369  ∪ cuni 3546

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1358  ax-ie2 1359  ax-8 1371  ax-10 1372  ax-11 1373  ax-i12 1374  ax-bnd 1375  ax-4 1376  ax-13 1380  ax-14 1381  ax-17 1395  ax-i9 1399  ax-ial 1403  ax-i5r 1404  ax-ext 1998  ax-un 4111  ax-bd0 8390  ax-bdex 8396  ax-bdel 8398  ax-bdsb 8399  ax-bdsep 8461

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1622  df-clab 2003  df-cleq 2009  df-clel 2012  df-nfc 2143  df-rex 2284  df-v 2531  df-uni 3547  df-bdc 8418

This theorem is referenced by:  bj-uniex  8490