Theorem bj-sucexg 7145

Description: sucexg 4174 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-sucexg	⊢ (A ∈ 𝑉 → suc A ∈ V)

Proof of Theorem bj-sucexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snexg 7135	. . . 4 ⊢ (A ∈ 𝑉 → {A} ∈ V)
2	1	pm4.71i 371	. . 3 ⊢ (A ∈ 𝑉 ↔ (A ∈ 𝑉 ∧ {A} ∈ V))
3	2	biimpi 113	. 2 ⊢ (A ∈ 𝑉 → (A ∈ 𝑉 ∧ {A} ∈ V))
4		bj-unexg 7144	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ {A} ∈ V) → (A ∪ {A}) ∈ V)
5		df-suc 4057	. . . 4 ⊢ suc A = (A ∪ {A})
6	5	eleq1i 2085	. . 3 ⊢ (suc A ∈ V ↔ (A ∪ {A}) ∈ V)
7	6	biimpri 124	. 2 ⊢ ((A ∪ {A}) ∈ V → suc A ∈ V)
8	3, 4, 7	3syl 17	1 ⊢ (A ∈ 𝑉 → suc A ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1374  Vcvv 2535   ∪ cun 2892  {csn 3350  suc csuc 4051

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-bd0 7040  ax-bdor 7043  ax-bdex 7046  ax-bdeq 7047  ax-bdel 7048  ax-bdsb 7049  ax-bdsep 7111

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-rex 2290  df-v 2537  df-un 2899  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-suc 4057  df-bdc 7068

This theorem is referenced by:  bj-sucex  7146