Theorem bj-sucexg 9377

Description: sucexg 4190 from bounded separation. (Contributed by BJ, 13-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-sucexg	⊢ (A ∈ 𝑉 → suc A ∈ V)

Proof of Theorem bj-sucexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-snexg 9367	. . . 4 ⊢ (A ∈ 𝑉 → {A} ∈ V)
2	1	pm4.71i 371	. . 3 ⊢ (A ∈ 𝑉 ↔ (A ∈ 𝑉 ∧ {A} ∈ V))
3	2	biimpi 113	. 2 ⊢ (A ∈ 𝑉 → (A ∈ 𝑉 ∧ {A} ∈ V))
4		bj-unexg 9376	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝑉 ∧ {A} ∈ V) → (A ∪ {A}) ∈ V)
5		df-suc 4074	. . . 4 ⊢ suc A = (A ∪ {A})
6	5	eleq1i 2100	. . 3 ⊢ (suc A ∈ V ↔ (A ∪ {A}) ∈ V)
7	6	biimpri 124	. 2 ⊢ ((A ∪ {A}) ∈ V → suc A ∈ V)
8	3, 4, 7	3syl 17	1 ⊢ (A ∈ 𝑉 → suc A ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ∪ cun 2909  {csn 3367  suc csuc 4068

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-bd0 9268  ax-bdor 9271  ax-bdex 9274  ax-bdeq 9275  ax-bdel 9276  ax-bdsb 9277  ax-bdsep 9339

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-suc 4074  df-bdc 9296

This theorem is referenced by:  bj-sucex  9378