Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-inf2vnlem4 Structured version   GIF version

Theorem bj-inf2vnlem4 7387
Description: Lemma for bj-inf2vn2 7389. (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-inf2vnlem4 (x A (x = ∅ y A x = suc y) → (Ind 𝑍A𝑍))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,𝑍,y

Proof of Theorem bj-inf2vnlem4
Dummy variables z 𝑡 u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bj-inf2vnlem2 7385 . . 3 (x A (x = ∅ y A x = suc y) → (Ind 𝑍u(𝑡 u (𝑡 A𝑡 𝑍) → (u Au 𝑍))))
2 nfv 1398 . . . 4 z(𝑡 A𝑡 𝑍)
3 nfv 1398 . . . 4 z(u Au 𝑍)
4 nfv 1398 . . . 4 u(z Az 𝑍)
5 nfv 1398 . . . 4 u(𝑡 A𝑡 𝑍)
6 eleq1 2078 . . . . . 6 (z = 𝑡 → (z A𝑡 A))
7 eleq1 2078 . . . . . 6 (z = 𝑡 → (z 𝑍𝑡 𝑍))
86, 7imbi12d 223 . . . . 5 (z = 𝑡 → ((z Az 𝑍) ↔ (𝑡 A𝑡 𝑍)))
98biimpd 132 . . . 4 (z = 𝑡 → ((z Az 𝑍) → (𝑡 A𝑡 𝑍)))
10 eleq1 2078 . . . . . 6 (z = u → (z Au A))
11 eleq1 2078 . . . . . 6 (z = u → (z 𝑍u 𝑍))
1210, 11imbi12d 223 . . . . 5 (z = u → ((z Az 𝑍) ↔ (u Au 𝑍)))
1312biimprd 147 . . . 4 (z = u → ((u Au 𝑍) → (z Az 𝑍)))
142, 3, 4, 5, 9, 13setindis 7381 . . 3 (u(𝑡 u (𝑡 A𝑡 𝑍) → (u Au 𝑍)) → z(z Az 𝑍))
151, 14syl6 29 . 2 (x A (x = ∅ y A x = suc y) → (Ind 𝑍z(z Az 𝑍)))
16 dfss2 2907 . 2 (A𝑍z(z Az 𝑍))
1715, 16syl6ibr 151 1 (x A (x = ∅ y A x = suc y) → (Ind 𝑍A𝑍))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wo 616  wal 1224   = wceq 1226   wcel 1370  wral 2280  wrex 2281  wss 2890  c0 3197  suc csuc 4047  Ind wind 7345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-setind 4200
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-sn 3352  df-suc 4053  df-bj-ind 7346
This theorem is referenced by:  bj-inf2vn2  7389
  Copyright terms: Public domain W3C validator