Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-inf2vnlem4 Structured version   GIF version

Theorem bj-inf2vnlem4 9403
Description: Lemma for bj-inf2vn2 9405. (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-inf2vnlem4 (x A (x = ∅ y A x = suc y) → (Ind 𝑍A𝑍))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,𝑍,y

Proof of Theorem bj-inf2vnlem4
Dummy variables z 𝑡 u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bj-inf2vnlem2 9401 . . 3 (x A (x = ∅ y A x = suc y) → (Ind 𝑍u(𝑡 u (𝑡 A𝑡 𝑍) → (u Au 𝑍))))
2 nfv 1418 . . . 4 z(𝑡 A𝑡 𝑍)
3 nfv 1418 . . . 4 z(u Au 𝑍)
4 nfv 1418 . . . 4 u(z Az 𝑍)
5 nfv 1418 . . . 4 u(𝑡 A𝑡 𝑍)
6 eleq1 2097 . . . . . 6 (z = 𝑡 → (z A𝑡 A))
7 eleq1 2097 . . . . . 6 (z = 𝑡 → (z 𝑍𝑡 𝑍))
86, 7imbi12d 223 . . . . 5 (z = 𝑡 → ((z Az 𝑍) ↔ (𝑡 A𝑡 𝑍)))
98biimpd 132 . . . 4 (z = 𝑡 → ((z Az 𝑍) → (𝑡 A𝑡 𝑍)))
10 eleq1 2097 . . . . . 6 (z = u → (z Au A))
11 eleq1 2097 . . . . . 6 (z = u → (z 𝑍u 𝑍))
1210, 11imbi12d 223 . . . . 5 (z = u → ((z Az 𝑍) ↔ (u Au 𝑍)))
1312biimprd 147 . . . 4 (z = u → ((u Au 𝑍) → (z Az 𝑍)))
142, 3, 4, 5, 9, 13setindis 9397 . . 3 (u(𝑡 u (𝑡 A𝑡 𝑍) → (u Au 𝑍)) → z(z Az 𝑍))
151, 14syl6 29 . 2 (x A (x = ∅ y A x = suc y) → (Ind 𝑍z(z Az 𝑍)))
16 dfss2 2928 . 2 (A𝑍z(z Az 𝑍))
1715, 16syl6ibr 151 1 (x A (x = ∅ y A x = suc y) → (Ind 𝑍A𝑍))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wo 628  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  wss 2911  c0 3218  suc csuc 4068  Ind wind 9361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-suc 4074  df-bj-ind 9362
This theorem is referenced by:  bj-inf2vn2  9405
  Copyright terms: Public domain W3C validator