Theorem bj-axun2 9370

Description: axun2 4138 from bounded separation. (Contributed by BJ, 15-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-axun2	⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))

Distinct variable group:   x,w,y,z

Proof of Theorem bj-axun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-bdel 9276	. . . 4 ⊢ BOUNDED z ∈ w
2	1	ax-bdex 9274	. . 3 ⊢ BOUNDED ∃w ∈ x z ∈ w
3		df-rex 2306	. . . 4 ⊢ (∃w ∈ x z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ z ∈ w))
4		exancom 1496	. . . 4 ⊢ (∃w(w ∈ x ∧ z ∈ w) ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))
5	3, 4	bitri 173	. . 3 ⊢ (∃w ∈ x z ∈ w ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))
6	2, 5	bd0 9279	. 2 ⊢ BOUNDED ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x)
7		ax-un 4136	. 2 ⊢ ∃y∀z(∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x) → z ∈ y)
8	6, 7	bdbm1.3ii 9346	1 ⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1240  ∃wex 1378  ∃wrex 2301

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-un 4136  ax-bd0 9268  ax-bdex 9274  ax-bdel 9276  ax-bdsep 9339

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-rex 2306

This theorem is referenced by: (None)