Theorem bj-axun2 7277

Description: axun2 4118 from bounded separation. (Contributed by BJ, 15-Oct-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-axun2	⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))

Distinct variable group:   x,w,y,z

Proof of Theorem bj-axun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-bdel 7187	. . . 4 ⊢ BOUNDED z ∈ w
2	1	ax-bdex 7185	. . 3 ⊢ BOUNDED ∃w ∈ x z ∈ w
3		df-rex 2286	. . . 4 ⊢ (∃w ∈ x z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ z ∈ w))
4		exancom 1477	. . . 4 ⊢ (∃w(w ∈ x ∧ z ∈ w) ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))
5	3, 4	bitri 173	. . 3 ⊢ (∃w ∈ x z ∈ w ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))
6	2, 5	bd0 7190	. 2 ⊢ BOUNDED ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x)
7		ax-un 4116	. 2 ⊢ ∃y∀z(∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x) → z ∈ y)
8	6, 7	bdbm1.3ii 7256	1 ⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1224  ∃wex 1358  ∃wrex 2281

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-ext 2000  ax-un 4116  ax-bd0 7179  ax-bdex 7185  ax-bdel 7187  ax-bdsep 7250

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1326  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-rex 2286

This theorem is referenced by: (None)