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Theorem binom3 8979
Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3 ((A B ℂ) → ((A + B)↑3) = (((A↑3) + (3 · ((A↑2) · B))) + ((3 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 7714 . . . 4 3 = (2 + 1)
21oveq2i 5466 . . 3 ((A + B)↑3) = ((A + B)↑(2 + 1))
3 addcl 6764 . . . 4 ((A B ℂ) → (A + B) ℂ)
4 2nn0 7934 . . . 4 2 0
5 expp1 8876 . . . 4 (((A + B) 2 0) → ((A + B)↑(2 + 1)) = (((A + B)↑2) · (A + B)))
63, 4, 5sylancl 392 . . 3 ((A B ℂ) → ((A + B)↑(2 + 1)) = (((A + B)↑2) · (A + B)))
72, 6syl5eq 2081 . 2 ((A B ℂ) → ((A + B)↑3) = (((A + B)↑2) · (A + B)))
8 sqcl 8929 . . . . 5 ((A + B) ℂ → ((A + B)↑2) ℂ)
93, 8syl 14 . . . 4 ((A B ℂ) → ((A + B)↑2) ℂ)
10 simpl 102 . . . 4 ((A B ℂ) → A ℂ)
11 simpr 103 . . . 4 ((A B ℂ) → B ℂ)
129, 10, 11adddid 6809 . . 3 ((A B ℂ) → (((A + B)↑2) · (A + B)) = ((((A + B)↑2) · A) + (((A + B)↑2) · B)))
13 binom2 8975 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((A + B)↑2) = (((A↑2) + (2 · (A · B))) + (B↑2)))
1413oveq1d 5470 . . . . 5 ((A B ℂ) → (((A + B)↑2) · A) = ((((A↑2) + (2 · (A · B))) + (B↑2)) · A))
15 sqcl 8929 . . . . . . . 8 (A ℂ → (A↑2) ℂ)
1610, 15syl 14 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (A↑2) ℂ)
17 2cn 7726 . . . . . . . 8 2
18 mulcl 6766 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (A · B) ℂ)
19 mulcl 6766 . . . . . . . 8 ((2 (A · B) ℂ) → (2 · (A · B)) ℂ)
2017, 18, 19sylancr 393 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (2 · (A · B)) ℂ)
2116, 20addcld 6804 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((A↑2) + (2 · (A · B))) ℂ)
22 sqcl 8929 . . . . . . 7 (B ℂ → (B↑2) ℂ)
2311, 22syl 14 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (B↑2) ℂ)
2421, 23, 10adddird 6810 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((((A↑2) + (2 · (A · B))) + (B↑2)) · A) = ((((A↑2) + (2 · (A · B))) · A) + ((B↑2) · A)))
2516, 20, 10adddird 6810 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((A↑2) + (2 · (A · B))) · A) = (((A↑2) · A) + ((2 · (A · B)) · A)))
261oveq2i 5466 . . . . . . . . 9 (A↑3) = (A↑(2 + 1))
27 expp1 8876 . . . . . . . . . 10 ((A 2 0) → (A↑(2 + 1)) = ((A↑2) · A))
2810, 4, 27sylancl 392 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → (A↑(2 + 1)) = ((A↑2) · A))
2926, 28syl5eq 2081 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (A↑3) = ((A↑2) · A))
30 sqval 8926 . . . . . . . . . . . . 13 (A ℂ → (A↑2) = (A · A))
3110, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((A B ℂ) → (A↑2) = (A · A))
3231oveq1d 5470 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → ((A↑2) · B) = ((A · A) · B))
3310, 10, 11mul32d 6923 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → ((A · A) · B) = ((A · B) · A))
3432, 33eqtrd 2069 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → ((A↑2) · B) = ((A · B) · A))
3534oveq2d 5471 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → (2 · ((A↑2) · B)) = (2 · ((A · B) · A)))
36 2cnd 7728 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → 2 ℂ)
3736, 18, 10mulassd 6808 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → ((2 · (A · B)) · A) = (2 · ((A · B) · A)))
3835, 37eqtr4d 2072 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (2 · ((A↑2) · B)) = ((2 · (A · B)) · A))
3929, 38oveq12d 5473 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) = (((A↑2) · A) + ((2 · (A · B)) · A)))
4025, 39eqtr4d 2072 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (((A↑2) + (2 · (A · B))) · A) = ((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))))
4123, 10mulcomd 6806 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((B↑2) · A) = (A · (B↑2)))
4240, 41oveq12d 5473 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((((A↑2) + (2 · (A · B))) · A) + ((B↑2) · A)) = (((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + (A · (B↑2))))
4314, 24, 423eqtrd 2073 . . . 4 ((A B ℂ) → (((A + B)↑2) · A) = (((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + (A · (B↑2))))
4413oveq1d 5470 . . . . 5 ((A B ℂ) → (((A + B)↑2) · B) = ((((A↑2) + (2 · (A · B))) + (B↑2)) · B))
4521, 23, 11adddird 6810 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((((A↑2) + (2 · (A · B))) + (B↑2)) · B) = ((((A↑2) + (2 · (A · B))) · B) + ((B↑2) · B)))
46 sqval 8926 . . . . . . . . . . . . . 14 (B ℂ → (B↑2) = (B · B))
4711, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((A B ℂ) → (B↑2) = (B · B))
4847oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12 ((A B ℂ) → (A · (B↑2)) = (A · (B · B)))
4910, 11, 11mulassd 6808 . . . . . . . . . . . 12 ((A B ℂ) → ((A · B) · B) = (A · (B · B)))
5048, 49eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . 11 ((A B ℂ) → (A · (B↑2)) = ((A · B) · B))
5150oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → (2 · (A · (B↑2))) = (2 · ((A · B) · B)))
5236, 18, 11mulassd 6808 . . . . . . . . . 10 ((A B ℂ) → ((2 · (A · B)) · B) = (2 · ((A · B) · B)))
5351, 52eqtr4d 2072 . . . . . . . . 9 ((A B ℂ) → (2 · (A · (B↑2))) = ((2 · (A · B)) · B))
5453oveq2d 5471 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (((A↑2) · B) + (2 · (A · (B↑2)))) = (((A↑2) · B) + ((2 · (A · B)) · B)))
5516, 20, 11adddird 6810 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (((A↑2) + (2 · (A · B))) · B) = (((A↑2) · B) + ((2 · (A · B)) · B)))
5654, 55eqtr4d 2072 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (((A↑2) · B) + (2 · (A · (B↑2)))) = (((A↑2) + (2 · (A · B))) · B))
571oveq2i 5466 . . . . . . . 8 (B↑3) = (B↑(2 + 1))
58 expp1 8876 . . . . . . . . 9 ((B 2 0) → (B↑(2 + 1)) = ((B↑2) · B))
5911, 4, 58sylancl 392 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (B↑(2 + 1)) = ((B↑2) · B))
6057, 59syl5eq 2081 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (B↑3) = ((B↑2) · B))
6156, 60oveq12d 5473 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((((A↑2) · B) + (2 · (A · (B↑2)))) + (B↑3)) = ((((A↑2) + (2 · (A · B))) · B) + ((B↑2) · B)))
6216, 11mulcld 6805 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((A↑2) · B) ℂ)
6310, 23mulcld 6805 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → (A · (B↑2)) ℂ)
64 mulcl 6766 . . . . . . . 8 ((2 (A · (B↑2)) ℂ) → (2 · (A · (B↑2))) ℂ)
6517, 63, 64sylancr 393 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (2 · (A · (B↑2))) ℂ)
66 3nn0 7935 . . . . . . . 8 3 0
67 expcl 8887 . . . . . . . 8 ((B 3 0) → (B↑3) ℂ)
6811, 66, 67sylancl 392 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (B↑3) ℂ)
6962, 65, 68addassd 6807 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((((A↑2) · B) + (2 · (A · (B↑2)))) + (B↑3)) = (((A↑2) · B) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))
7061, 69eqtr3d 2071 . . . . 5 ((A B ℂ) → ((((A↑2) + (2 · (A · B))) · B) + ((B↑2) · B)) = (((A↑2) · B) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))
7144, 45, 703eqtrd 2073 . . . 4 ((A B ℂ) → (((A + B)↑2) · B) = (((A↑2) · B) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))
7243, 71oveq12d 5473 . . 3 ((A B ℂ) → ((((A + B)↑2) · A) + (((A + B)↑2) · B)) = ((((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + (A · (B↑2))) + (((A↑2) · B) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))))
73 expcl 8887 . . . . . 6 ((A 3 0) → (A↑3) ℂ)
7410, 66, 73sylancl 392 . . . . 5 ((A B ℂ) → (A↑3) ℂ)
75 mulcl 6766 . . . . . 6 ((2 ((A↑2) · B) ℂ) → (2 · ((A↑2) · B)) ℂ)
7617, 62, 75sylancr 393 . . . . 5 ((A B ℂ) → (2 · ((A↑2) · B)) ℂ)
7774, 76addcld 6804 . . . 4 ((A B ℂ) → ((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) ℂ)
7865, 68addcld 6804 . . . 4 ((A B ℂ) → ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)) ℂ)
7977, 63, 62, 78add4d 6937 . . 3 ((A B ℂ) → ((((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + (A · (B↑2))) + (((A↑2) · B) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))) = ((((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + ((A↑2) · B)) + ((A · (B↑2)) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))))
8012, 72, 793eqtrd 2073 . 2 ((A B ℂ) → (((A + B)↑2) · (A + B)) = ((((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + ((A↑2) · B)) + ((A · (B↑2)) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))))
8174, 76, 62addassd 6807 . . . 4 ((A B ℂ) → (((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + ((A↑2) · B)) = ((A↑3) + ((2 · ((A↑2) · B)) + ((A↑2) · B))))
821oveq1i 5465 . . . . . . 7 (3 · ((A↑2) · B)) = ((2 + 1) · ((A↑2) · B))
83 1cnd 6801 . . . . . . . 8 ((A B ℂ) → 1 ℂ)
8436, 83, 62adddird 6810 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((2 + 1) · ((A↑2) · B)) = ((2 · ((A↑2) · B)) + (1 · ((A↑2) · B))))
8582, 84syl5eq 2081 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (3 · ((A↑2) · B)) = ((2 · ((A↑2) · B)) + (1 · ((A↑2) · B))))
8662mulid2d 6803 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (1 · ((A↑2) · B)) = ((A↑2) · B))
8786oveq2d 5471 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((2 · ((A↑2) · B)) + (1 · ((A↑2) · B))) = ((2 · ((A↑2) · B)) + ((A↑2) · B)))
8885, 87eqtrd 2069 . . . . 5 ((A B ℂ) → (3 · ((A↑2) · B)) = ((2 · ((A↑2) · B)) + ((A↑2) · B)))
8988oveq2d 5471 . . . 4 ((A B ℂ) → ((A↑3) + (3 · ((A↑2) · B))) = ((A↑3) + ((2 · ((A↑2) · B)) + ((A↑2) · B))))
9081, 89eqtr4d 2072 . . 3 ((A B ℂ) → (((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + ((A↑2) · B)) = ((A↑3) + (3 · ((A↑2) · B))))
91 1p2e3 7782 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
9291oveq1i 5465 . . . . . . 7 ((1 + 2) · (A · (B↑2))) = (3 · (A · (B↑2)))
9383, 36, 63adddird 6810 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → ((1 + 2) · (A · (B↑2))) = ((1 · (A · (B↑2))) + (2 · (A · (B↑2)))))
9492, 93syl5eqr 2083 . . . . . 6 ((A B ℂ) → (3 · (A · (B↑2))) = ((1 · (A · (B↑2))) + (2 · (A · (B↑2)))))
9563mulid2d 6803 . . . . . . 7 ((A B ℂ) → (1 · (A · (B↑2))) = (A · (B↑2)))
9695oveq1d 5470 . . . . . 6 ((A B ℂ) → ((1 · (A · (B↑2))) + (2 · (A · (B↑2)))) = ((A · (B↑2)) + (2 · (A · (B↑2)))))
9794, 96eqtrd 2069 . . . . 5 ((A B ℂ) → (3 · (A · (B↑2))) = ((A · (B↑2)) + (2 · (A · (B↑2)))))
9897oveq1d 5470 . . . 4 ((A B ℂ) → ((3 · (A · (B↑2))) + (B↑3)) = (((A · (B↑2)) + (2 · (A · (B↑2)))) + (B↑3)))
9963, 65, 68addassd 6807 . . . 4 ((A B ℂ) → (((A · (B↑2)) + (2 · (A · (B↑2)))) + (B↑3)) = ((A · (B↑2)) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))
10098, 99eqtr2d 2070 . . 3 ((A B ℂ) → ((A · (B↑2)) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3))) = ((3 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))
10190, 100oveq12d 5473 . 2 ((A B ℂ) → ((((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + ((A↑2) · B)) + ((A · (B↑2)) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))) = (((A↑3) + (3 · ((A↑2) · B))) + ((3 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))
1027, 80, 1013eqtrd 2073 1 ((A B ℂ) → ((A + B)↑3) = (((A↑3) + (3 · ((A↑2) · B))) + ((3 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669  1c1 6672   + caddc 6674   · cmul 6676  2c2 7704  3c3 7705  0cn0 7917  cexp 8868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-mulrcl 6742  ax-addcom 6743  ax-mulcom 6744  ax-addass 6745  ax-mulass 6746  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-1rid 6750  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-precex 6753  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-apti 6758  ax-pre-ltadd 6759  ax-pre-mulgt0 6760  ax-pre-mulext 6761
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-reap 7319  df-ap 7326  df-div 7394  df-inn 7656  df-2 7713  df-3 7714  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-iseq 8853  df-iexp 8869
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