Theorem binom3 9019

Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
binom3	⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A + B)↑3) = (((A↑3) + (3 · ((A↑2) · B))) + ((3 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))

Proof of Theorem binom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 7754	. . . 4 ⊢ 3 = (2 + 1)
2	1	oveq2i 5466	. . 3 ⊢ ((A + B)↑3) = ((A + B)↑(2 + 1))
3		addcl 6804	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A + B) ∈ ℂ)
4		2nn0 7974	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		expp1 8916	. . . 4 ⊢ (((A + B) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((A + B)↑(2 + 1)) = (((A + B)↑2) · (A + B)))
6	3, 4, 5	sylancl 392	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A + B)↑(2 + 1)) = (((A + B)↑2) · (A + B)))
7	2, 6	syl5eq 2081	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A + B)↑3) = (((A + B)↑2) · (A + B)))
8		sqcl 8969	. . . . 5 ⊢ ((A + B) ∈ ℂ → ((A + B)↑2) ∈ ℂ)
9	3, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A + B)↑2) ∈ ℂ)
10		simpl 102	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → A ∈ ℂ)
11		simpr 103	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → B ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	adddid 6849	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A + B)↑2) · (A + B)) = ((((A + B)↑2) · A) + (((A + B)↑2) · B)))
13		binom2 9015	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A + B)↑2) = (((A↑2) + (2 · (A · B))) + (B↑2)))
14	13	oveq1d 5470	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A + B)↑2) · A) = ((((A↑2) + (2 · (A · B))) + (B↑2)) · A))
15		sqcl 8969	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑2) ∈ ℂ)
16	10, 15	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A↑2) ∈ ℂ)
17		2cn 7766	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
18		mulcl 6806	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A · B) ∈ ℂ)
19		mulcl 6806	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (A · B) ∈ ℂ) → (2 · (A · B)) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	sylancr 393	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (2 · (A · B)) ∈ ℂ)
21	16, 20	addcld 6844	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A↑2) + (2 · (A · B))) ∈ ℂ)
22		sqcl 8969	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ℂ → (B↑2) ∈ ℂ)
23	11, 22	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (B↑2) ∈ ℂ)
24	21, 23, 10	adddird 6850	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((((A↑2) + (2 · (A · B))) + (B↑2)) · A) = ((((A↑2) + (2 · (A · B))) · A) + ((B↑2) · A)))
25	16, 20, 10	adddird 6850	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A↑2) + (2 · (A · B))) · A) = (((A↑2) · A) + ((2 · (A · B)) · A)))
26	1	oveq2i 5466	. . . . . . . . 9 ⊢ (A↑3) = (A↑(2 + 1))
27		expp1 8916	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (A↑(2 + 1)) = ((A↑2) · A))
28	10, 4, 27	sylancl 392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A↑(2 + 1)) = ((A↑2) · A))
29	26, 28	syl5eq 2081	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A↑3) = ((A↑2) · A))
30		sqval 8966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑2) = (A · A))
31	10, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A↑2) = (A · A))
32	31	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A↑2) · B) = ((A · A) · B))
33	10, 10, 11	mul32d 6963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A · A) · B) = ((A · B) · A))
34	32, 33	eqtrd 2069	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A↑2) · B) = ((A · B) · A))
35	34	oveq2d 5471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (2 · ((A↑2) · B)) = (2 · ((A · B) · A)))
36		2cnd 7768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
37	36, 18, 10	mulassd 6848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((2 · (A · B)) · A) = (2 · ((A · B) · A)))
38	35, 37	eqtr4d 2072	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (2 · ((A↑2) · B)) = ((2 · (A · B)) · A))
39	29, 38	oveq12d 5473	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) = (((A↑2) · A) + ((2 · (A · B)) · A)))
40	25, 39	eqtr4d 2072	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A↑2) + (2 · (A · B))) · A) = ((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))))
41	23, 10	mulcomd 6846	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((B↑2) · A) = (A · (B↑2)))
42	40, 41	oveq12d 5473	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((((A↑2) + (2 · (A · B))) · A) + ((B↑2) · A)) = (((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + (A · (B↑2))))
43	14, 24, 42	3eqtrd 2073	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A + B)↑2) · A) = (((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + (A · (B↑2))))
44	13	oveq1d 5470	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A + B)↑2) · B) = ((((A↑2) + (2 · (A · B))) + (B↑2)) · B))
45	21, 23, 11	adddird 6850	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((((A↑2) + (2 · (A · B))) + (B↑2)) · B) = ((((A↑2) + (2 · (A · B))) · B) + ((B↑2) · B)))
46		sqval 8966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (B ∈ ℂ → (B↑2) = (B · B))
47	11, 46	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (B↑2) = (B · B))
48	47	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A · (B↑2)) = (A · (B · B)))
49	10, 11, 11	mulassd 6848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A · B) · B) = (A · (B · B)))
50	48, 49	eqtr4d 2072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A · (B↑2)) = ((A · B) · B))
51	50	oveq2d 5471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (2 · (A · (B↑2))) = (2 · ((A · B) · B)))
52	36, 18, 11	mulassd 6848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((2 · (A · B)) · B) = (2 · ((A · B) · B)))
53	51, 52	eqtr4d 2072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (2 · (A · (B↑2))) = ((2 · (A · B)) · B))
54	53	oveq2d 5471	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A↑2) · B) + (2 · (A · (B↑2)))) = (((A↑2) · B) + ((2 · (A · B)) · B)))
55	16, 20, 11	adddird 6850	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A↑2) + (2 · (A · B))) · B) = (((A↑2) · B) + ((2 · (A · B)) · B)))
56	54, 55	eqtr4d 2072	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A↑2) · B) + (2 · (A · (B↑2)))) = (((A↑2) + (2 · (A · B))) · B))
57	1	oveq2i 5466	. . . . . . . 8 ⊢ (B↑3) = (B↑(2 + 1))
58		expp1 8916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (B↑(2 + 1)) = ((B↑2) · B))
59	11, 4, 58	sylancl 392	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (B↑(2 + 1)) = ((B↑2) · B))
60	57, 59	syl5eq 2081	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (B↑3) = ((B↑2) · B))
61	56, 60	oveq12d 5473	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((((A↑2) · B) + (2 · (A · (B↑2)))) + (B↑3)) = ((((A↑2) + (2 · (A · B))) · B) + ((B↑2) · B)))
62	16, 11	mulcld 6845	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A↑2) · B) ∈ ℂ)
63	10, 23	mulcld 6845	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A · (B↑2)) ∈ ℂ)
64		mulcl 6806	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (A · (B↑2)) ∈ ℂ) → (2 · (A · (B↑2))) ∈ ℂ)
65	17, 63, 64	sylancr 393	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (2 · (A · (B↑2))) ∈ ℂ)
66		3nn0 7975	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ0
67		expcl 8927	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (B↑3) ∈ ℂ)
68	11, 66, 67	sylancl 392	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (B↑3) ∈ ℂ)
69	62, 65, 68	addassd 6847	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((((A↑2) · B) + (2 · (A · (B↑2)))) + (B↑3)) = (((A↑2) · B) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))
70	61, 69	eqtr3d 2071	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((((A↑2) + (2 · (A · B))) · B) + ((B↑2) · B)) = (((A↑2) · B) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))
71	44, 45, 70	3eqtrd 2073	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A + B)↑2) · B) = (((A↑2) · B) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))
72	43, 71	oveq12d 5473	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((((A + B)↑2) · A) + (((A + B)↑2) · B)) = ((((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + (A · (B↑2))) + (((A↑2) · B) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))))
73		expcl 8927	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (A↑3) ∈ ℂ)
74	10, 66, 73	sylancl 392	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A↑3) ∈ ℂ)
75		mulcl 6806	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((A↑2) · B) ∈ ℂ) → (2 · ((A↑2) · B)) ∈ ℂ)
76	17, 62, 75	sylancr 393	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (2 · ((A↑2) · B)) ∈ ℂ)
77	74, 76	addcld 6844	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) ∈ ℂ)
78	65, 68	addcld 6844	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)) ∈ ℂ)
79	77, 63, 62, 78	add4d 6977	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + (A · (B↑2))) + (((A↑2) · B) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))) = ((((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + ((A↑2) · B)) + ((A · (B↑2)) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))))
80	12, 72, 79	3eqtrd 2073	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A + B)↑2) · (A + B)) = ((((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + ((A↑2) · B)) + ((A · (B↑2)) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))))
81	74, 76, 62	addassd 6847	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + ((A↑2) · B)) = ((A↑3) + ((2 · ((A↑2) · B)) + ((A↑2) · B))))
82	1	oveq1i 5465	. . . . . . 7 ⊢ (3 · ((A↑2) · B)) = ((2 + 1) · ((A↑2) · B))
83		1cnd 6841	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
84	36, 83, 62	adddird 6850	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((2 + 1) · ((A↑2) · B)) = ((2 · ((A↑2) · B)) + (1 · ((A↑2) · B))))
85	82, 84	syl5eq 2081	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (3 · ((A↑2) · B)) = ((2 · ((A↑2) · B)) + (1 · ((A↑2) · B))))
86	62	mulid2d 6843	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (1 · ((A↑2) · B)) = ((A↑2) · B))
87	86	oveq2d 5471	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((2 · ((A↑2) · B)) + (1 · ((A↑2) · B))) = ((2 · ((A↑2) · B)) + ((A↑2) · B)))
88	85, 87	eqtrd 2069	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (3 · ((A↑2) · B)) = ((2 · ((A↑2) · B)) + ((A↑2) · B)))
89	88	oveq2d 5471	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A↑3) + (3 · ((A↑2) · B))) = ((A↑3) + ((2 · ((A↑2) · B)) + ((A↑2) · B))))
90	81, 89	eqtr4d 2072	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + ((A↑2) · B)) = ((A↑3) + (3 · ((A↑2) · B))))
91		1p2e3 7822	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 2) = 3
92	91	oveq1i 5465	. . . . . . 7 ⊢ ((1 + 2) · (A · (B↑2))) = (3 · (A · (B↑2)))
93	83, 36, 63	adddird 6850	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((1 + 2) · (A · (B↑2))) = ((1 · (A · (B↑2))) + (2 · (A · (B↑2)))))
94	92, 93	syl5eqr 2083	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (3 · (A · (B↑2))) = ((1 · (A · (B↑2))) + (2 · (A · (B↑2)))))
95	63	mulid2d 6843	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (1 · (A · (B↑2))) = (A · (B↑2)))
96	95	oveq1d 5470	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((1 · (A · (B↑2))) + (2 · (A · (B↑2)))) = ((A · (B↑2)) + (2 · (A · (B↑2)))))
97	94, 96	eqtrd 2069	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (3 · (A · (B↑2))) = ((A · (B↑2)) + (2 · (A · (B↑2)))))
98	97	oveq1d 5470	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((3 · (A · (B↑2))) + (B↑3)) = (((A · (B↑2)) + (2 · (A · (B↑2)))) + (B↑3)))
99	63, 65, 68	addassd 6847	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((A · (B↑2)) + (2 · (A · (B↑2)))) + (B↑3)) = ((A · (B↑2)) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))
100	98, 99	eqtr2d 2070	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A · (B↑2)) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3))) = ((3 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))
101	90, 100	oveq12d 5473	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((((A↑3) + (2 · ((A↑2) · B))) + ((A↑2) · B)) + ((A · (B↑2)) + ((2 · (A · (B↑2))) + (B↑3)))) = (((A↑3) + (3 · ((A↑2) · B))) + ((3 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))
102	7, 80, 101	3eqtrd 2073	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((A + B)↑3) = (((A↑3) + (3 · ((A↑2) · B))) + ((3 · (A · (B↑2))) + (B↑3))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716  2c2 7744  3c3 7745  ℕ₀cn0 7957  ↑cexp 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-2 7753  df-3 7754  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909

This theorem is referenced by: (None)