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Theorem binom3 9366
 Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 7974 . . . 4 3 = (2 + 1)
21oveq2i 5523 . . 3 ((𝐴 + 𝐵)↑3) = ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1))
3 addcl 7006 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
4 2nn0 8198 . . . 4 2 ∈ ℕ0
5 expp1 9262 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
63, 4, 5sylancl 392 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑(2 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
72, 6syl5eq 2084 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)))
8 sqcl 9315 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
93, 8syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) ∈ ℂ)
10 simpl 102 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 simpr 103 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
129, 10, 11adddid 7051 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵)))
13 binom2 9362 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑2) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)))
1413oveq1d 5527 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐴))
15 sqcl 9315 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
1610, 15syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
17 2cn 7986 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
18 mulcl 7008 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
19 mulcl 7008 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
2017, 18, 19sylancr 393 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · 𝐵)) ∈ ℂ)
2116, 20addcld 7046 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) ∈ ℂ)
22 sqcl 9315 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2311, 22syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
2421, 23, 10adddird 7052 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐴) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) + ((𝐵↑2) · 𝐴)))
2516, 20, 10adddird 7052 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) = (((𝐴↑2) · 𝐴) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴)))
261oveq2i 5523 . . . . . . . . 9 (𝐴↑3) = (𝐴↑(2 + 1))
27 expp1 9262 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
2810, 4, 27sylancl 392 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑(2 + 1)) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
2926, 28syl5eq 2084 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) = ((𝐴↑2) · 𝐴))
30 sqval 9312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3110, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3231oveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵))
3310, 10, 11mul32d 7166 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐴) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
3432, 33eqtrd 2072 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴))
3534oveq2d 5528 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴)))
36 2cnd 7988 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
3736, 18, 10mulassd 7050 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐴)))
3835, 37eqtr4d 2075 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴))
3929, 38oveq12d 5530 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = (((𝐴↑2) · 𝐴) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐴)))
4025, 39eqtr4d 2075 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) = ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
4123, 10mulcomd 7048 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐵↑2) · 𝐴) = (𝐴 · (𝐵↑2)))
4240, 41oveq12d 5530 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐴) + ((𝐵↑2) · 𝐴)) = (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))))
4314, 24, 423eqtrd 2076 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) = (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))))
4413oveq1d 5527 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐵))
4521, 23, 11adddird 7052 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) + (𝐵↑2)) · 𝐵) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)))
46 sqval 9312 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
4711, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑2) = (𝐵 · 𝐵))
4847oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐵)))
4910, 11, 11mulassd 7050 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐵)))
5048, 49eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) = ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵))
5150oveq2d 5528 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵)))
5236, 18, 11mulassd 7050 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵) = (2 · ((𝐴 · 𝐵) · 𝐵)))
5351, 52eqtr4d 2075 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵))
5453oveq2d 5528 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵)))
5516, 20, 11adddird 7052 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · 𝐵)) · 𝐵)))
5654, 55eqtr4d 2075 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = (((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵))
571oveq2i 5523 . . . . . . . 8 (𝐵↑3) = (𝐵↑(2 + 1))
58 expp1 9262 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
5911, 4, 58sylancl 392 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑(2 + 1)) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
6057, 59syl5eq 2084 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) = ((𝐵↑2) · 𝐵))
6156, 60oveq12d 5530 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)))
6216, 11mulcld 7047 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ)
6310, 23mulcld 7047 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
64 mulcl 7008 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐴 · (𝐵↑2)) ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
6517, 63, 64sylancr 393 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) ∈ ℂ)
66 3nn0 8199 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ0
67 expcl 9273 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
6811, 66, 67sylancl 392 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵↑3) ∈ ℂ)
6962, 65, 68addassd 7049 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) · 𝐵) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
7061, 69eqtr3d 2074 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑2) + (2 · (𝐴 · 𝐵))) · 𝐵) + ((𝐵↑2) · 𝐵)) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
7144, 45, 703eqtrd 2076 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵) = (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
7243, 71oveq12d 5530 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐴) + (((𝐴 + 𝐵)↑2) · 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
73 expcl 9273 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
7410, 66, 73sylancl 392 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
75 mulcl 7008 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) · 𝐵) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
7617, 62, 75sylancr 393 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) ∈ ℂ)
7774, 76addcld 7046 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) ∈ ℂ)
7865, 68addcld 7046 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) ∈ ℂ)
7977, 63, 62, 78add4d 7180 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + (𝐴 · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · 𝐵) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
8012, 72, 793eqtrd 2076 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵)↑2) · (𝐴 + 𝐵)) = ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))))
8174, 76, 62addassd 7049 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) + ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵))))
821oveq1i 5522 . . . . . . 7 (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 + 1) · ((𝐴↑2) · 𝐵))
83 1cnd 7043 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
8436, 83, 62adddird 7052 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 + 1) · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
8582, 84syl5eq 2084 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
8662mulid2d 7045 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑2) · 𝐵))
8786oveq2d 5528 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + (1 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵)))
8885, 87eqtrd 2072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵)))
8988oveq2d 5528 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) = ((𝐴↑3) + ((2 · ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴↑2) · 𝐵))))
9081, 89eqtr4d 2075 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) = ((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))))
91 1p2e3 8044 . . . . . . . 8 (1 + 2) = 3
9291oveq1i 5522 . . . . . . 7 ((1 + 2) · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (3 · (𝐴 · (𝐵↑2)))
9383, 36, 63adddird 7052 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 2) · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9492, 93syl5eqr 2086 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9563mulid2d 7045 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = (𝐴 · (𝐵↑2)))
9695oveq1d 5527 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9794, 96eqtrd 2072 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))))
9897oveq1d 5527 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)) = (((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)))
9963, 65, 68addassd 7049 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 · (𝐵↑2)) + (2 · (𝐴 · (𝐵↑2)))) + (𝐵↑3)) = ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
10098, 99eqtr2d 2073 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))) = ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))
10190, 100oveq12d 5530 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((((𝐴↑3) + (2 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((𝐴↑2) · 𝐵)) + ((𝐴 · (𝐵↑2)) + ((2 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3)))) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
1027, 80, 1013eqtrd 2076 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵)↑3) = (((𝐴↑3) + (3 · ((𝐴↑2) · 𝐵))) + ((3 · (𝐴 · (𝐵↑2))) + (𝐵↑3))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  1c1 6890   + caddc 6892   · cmul 6894  2c2 7964  3c3 7965  ℕ0cn0 8181  ↑cexp 9254 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212  df-iexp 9255 This theorem is referenced by: (None)
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