Theorem axpow3 3921

Description: A variant of the Axiom of Power Sets ax-pow 3918. For any set x, there exists a set y whose members are exactly the subsets of x i.e. the power set of x. Axiom Pow of [BellMachover] p. 466. (Contributed by NM, 4-Jun-2006.)

Assertion

Ref	Expression
axpow3	⊢ ∃y∀z(z ⊆ x ↔ z ∈ y)

Distinct variable group:   x,y,z

Proof of Theorem axpow3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpow2 3920	. . 3 ⊢ ∃y∀z(z ⊆ x → z ∈ y)
2	1	bm1.3ii 3869	. 2 ⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ z ⊆ x)
3		bicom 128	. . . 4 ⊢ ((z ⊆ x ↔ z ∈ y) ↔ (z ∈ y ↔ z ⊆ x))
4	3	albii 1356	. . 3 ⊢ (∀z(z ⊆ x ↔ z ∈ y) ↔ ∀z(z ∈ y ↔ z ⊆ x))
5	4	exbii 1493	. 2 ⊢ (∃y∀z(z ⊆ x ↔ z ∈ y) ↔ ∃y∀z(z ∈ y ↔ z ⊆ x))
6	2, 5	mpbir 134	1 ⊢ ∃y∀z(z ⊆ x ↔ z ∈ y)

Syntax hints:   ↔ wb 98  ∀wal 1240  ∃wex 1378   ⊆ wss 2911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-11 1394  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-in 2918  df-ss 2925

This theorem is referenced by: (None)