ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcom Structured version   GIF version

Theorem axmulcom 6715
Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 6744 be used later. Instead, use mulcom 6768. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom ((A B ℂ) → (A · B) = (B · A))

Proof of Theorem axmulcom
Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 6698 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 mulcnsrec 6700 . 2 (((x R y R) (z R w R)) → ([⟨x, y⟩] E · [⟨z, w⟩] E ) = [⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩] E )
3 mulcnsrec 6700 . 2 (((z R w R) (x R y R)) → ([⟨z, w⟩] E · [⟨x, y⟩] E ) = [⟨((z ·R x) +R (-1R ·R (w ·R y))), ((w ·R x) +R (z ·R y))⟩] E )
4 simpll 481 . . . 4 (((x R y R) (z R w R)) → x R)
5 simprl 483 . . . 4 (((x R y R) (z R w R)) → z R)
6 mulcomsrg 6645 . . . 4 ((x R z R) → (x ·R z) = (z ·R x))
74, 5, 6syl2anc 391 . . 3 (((x R y R) (z R w R)) → (x ·R z) = (z ·R x))
8 simplr 482 . . . . 5 (((x R y R) (z R w R)) → y R)
9 simprr 484 . . . . 5 (((x R y R) (z R w R)) → w R)
10 mulcomsrg 6645 . . . . 5 ((y R w R) → (y ·R w) = (w ·R y))
118, 9, 10syl2anc 391 . . . 4 (((x R y R) (z R w R)) → (y ·R w) = (w ·R y))
1211oveq2d 5471 . . 3 (((x R y R) (z R w R)) → (-1R ·R (y ·R w)) = (-1R ·R (w ·R y)))
137, 12oveq12d 5473 . 2 (((x R y R) (z R w R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) = ((z ·R x) +R (-1R ·R (w ·R y))))
14 mulcomsrg 6645 . . . . 5 ((y R z R) → (y ·R z) = (z ·R y))
158, 5, 14syl2anc 391 . . . 4 (((x R y R) (z R w R)) → (y ·R z) = (z ·R y))
16 mulcomsrg 6645 . . . . 5 ((x R w R) → (x ·R w) = (w ·R x))
174, 9, 16syl2anc 391 . . . 4 (((x R y R) (z R w R)) → (x ·R w) = (w ·R x))
1815, 17oveq12d 5473 . . 3 (((x R y R) (z R w R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) = ((z ·R y) +R (w ·R x)))
19 mulclsr 6642 . . . . 5 ((z R y R) → (z ·R y) R)
205, 8, 19syl2anc 391 . . . 4 (((x R y R) (z R w R)) → (z ·R y) R)
21 mulclsr 6642 . . . . 5 ((w R x R) → (w ·R x) R)
229, 4, 21syl2anc 391 . . . 4 (((x R y R) (z R w R)) → (w ·R x) R)
23 addcomsrg 6643 . . . 4 (((z ·R y) R (w ·R x) R) → ((z ·R y) +R (w ·R x)) = ((w ·R x) +R (z ·R y)))
2420, 22, 23syl2anc 391 . . 3 (((x R y R) (z R w R)) → ((z ·R y) +R (w ·R x)) = ((w ·R x) +R (z ·R y)))
2518, 24eqtrd 2069 . 2 (((x R y R) (z R w R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) = ((w ·R x) +R (z ·R y)))
261, 2, 3, 13, 25ecovicom 6150 1 ((A B ℂ) → (A · B) = (B · A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390   E cep 4015  ccnv 4287  (class class class)co 5455  Rcnr 6281  -1Rcm1r 6284   +R cplr 6285   ·R cmr 6286  cc 6669   · cmul 6676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-enr 6614  df-nr 6615  df-plr 6616  df-mr 6617  df-m1r 6621  df-c 6677  df-mul 6683
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator