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Theorem axdistr 6718
Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 6747 be used later. Instead, use adddi 6771. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axdistr ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (B + 𝐶)) = ((A · B) + (A · 𝐶)))

Proof of Theorem axdistr
Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 6698 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 addcnsrec 6699 . 2 (((z R w R) (v R u R)) → ([⟨z, w⟩] E + [⟨v, u⟩] E ) = [⟨(z +R v), (w +R u)⟩] E )
3 mulcnsrec 6700 . 2 (((x R y R) ((z +R v) R (w +R u) R)) → ([⟨x, y⟩] E · [⟨(z +R v), (w +R u)⟩] E ) = [⟨((x ·R (z +R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w +R u)))), ((y ·R (z +R v)) +R (x ·R (w +R u)))⟩] E )
4 mulcnsrec 6700 . 2 (((x R y R) (z R w R)) → ([⟨x, y⟩] E · [⟨z, w⟩] E ) = [⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩] E )
5 mulcnsrec 6700 . 2 (((x R y R) (v R u R)) → ([⟨x, y⟩] E · [⟨v, u⟩] E ) = [⟨((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))), ((y ·R v) +R (x ·R u))⟩] E )
6 addcnsrec 6699 . 2 (((((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) R ((y ·R z) +R (x ·R w)) R) (((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) R ((y ·R v) +R (x ·R u)) R)) → ([⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩] E + [⟨((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))), ((y ·R v) +R (x ·R u))⟩] E ) = [⟨(((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) +R ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u)))), (((y ·R z) +R (x ·R w)) +R ((y ·R v) +R (x ·R u)))⟩] E )
7 addclsr 6641 . . . 4 ((z R v R) → (z +R v) R)
8 addclsr 6641 . . . 4 ((w R u R) → (w +R u) R)
97, 8anim12i 321 . . 3 (((z R v R) (w R u R)) → ((z +R v) R (w +R u) R))
109an4s 522 . 2 (((z R w R) (v R u R)) → ((z +R v) R (w +R u) R))
11 mulclsr 6642 . . . . 5 ((x R z R) → (x ·R z) R)
12 m1r 6640 . . . . . 6 -1R R
13 mulclsr 6642 . . . . . 6 ((y R w R) → (y ·R w) R)
14 mulclsr 6642 . . . . . 6 ((-1R R (y ·R w) R) → (-1R ·R (y ·R w)) R)
1512, 13, 14sylancr 393 . . . . 5 ((y R w R) → (-1R ·R (y ·R w)) R)
16 addclsr 6641 . . . . 5 (((x ·R z) R (-1R ·R (y ·R w)) R) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) R)
1711, 15, 16syl2an 273 . . . 4 (((x R z R) (y R w R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) R)
1817an4s 522 . . 3 (((x R y R) (z R w R)) → ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) R)
19 mulclsr 6642 . . . . 5 ((y R z R) → (y ·R z) R)
20 mulclsr 6642 . . . . 5 ((x R w R) → (x ·R w) R)
21 addclsr 6641 . . . . 5 (((y ·R z) R (x ·R w) R) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) R)
2219, 20, 21syl2anr 274 . . . 4 (((x R w R) (y R z R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) R)
2322an42s 523 . . 3 (((x R y R) (z R w R)) → ((y ·R z) +R (x ·R w)) R)
2418, 23jca 290 . 2 (((x R y R) (z R w R)) → (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) R ((y ·R z) +R (x ·R w)) R))
25 mulclsr 6642 . . . . 5 ((x R v R) → (x ·R v) R)
26 mulclsr 6642 . . . . . 6 ((y R u R) → (y ·R u) R)
27 mulclsr 6642 . . . . . 6 ((-1R R (y ·R u) R) → (-1R ·R (y ·R u)) R)
2812, 26, 27sylancr 393 . . . . 5 ((y R u R) → (-1R ·R (y ·R u)) R)
29 addclsr 6641 . . . . 5 (((x ·R v) R (-1R ·R (y ·R u)) R) → ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) R)
3025, 28, 29syl2an 273 . . . 4 (((x R v R) (y R u R)) → ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) R)
3130an4s 522 . . 3 (((x R y R) (v R u R)) → ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) R)
32 mulclsr 6642 . . . . 5 ((y R v R) → (y ·R v) R)
33 mulclsr 6642 . . . . 5 ((x R u R) → (x ·R u) R)
34 addclsr 6641 . . . . 5 (((y ·R v) R (x ·R u) R) → ((y ·R v) +R (x ·R u)) R)
3532, 33, 34syl2anr 274 . . . 4 (((x R u R) (y R v R)) → ((y ·R v) +R (x ·R u)) R)
3635an42s 523 . . 3 (((x R y R) (v R u R)) → ((y ·R v) +R (x ·R u)) R)
3731, 36jca 290 . 2 (((x R y R) (v R u R)) → (((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u))) R ((y ·R v) +R (x ·R u)) R))
38 simp1l 927 . . . . 5 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → x R)
39 simp2l 929 . . . . 5 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → z R)
40 simp3l 931 . . . . 5 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → v R)
41 distrsrg 6647 . . . . 5 ((x R z R v R) → (x ·R (z +R v)) = ((x ·R z) +R (x ·R v)))
4238, 39, 40, 41syl3anc 1134 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (x ·R (z +R v)) = ((x ·R z) +R (x ·R v)))
43 simp1r 928 . . . . . . 7 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → y R)
44 simp2r 930 . . . . . . 7 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → w R)
45 simp3r 932 . . . . . . 7 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → u R)
46 distrsrg 6647 . . . . . . 7 ((y R w R u R) → (y ·R (w +R u)) = ((y ·R w) +R (y ·R u)))
4743, 44, 45, 46syl3anc 1134 . . . . . 6 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (y ·R (w +R u)) = ((y ·R w) +R (y ·R u)))
4847oveq2d 5471 . . . . 5 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (-1R ·R (y ·R (w +R u))) = (-1R ·R ((y ·R w) +R (y ·R u))))
4912a1i 9 . . . . . 6 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → -1R R)
5043, 44, 13syl2anc 391 . . . . . 6 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (y ·R w) R)
5143, 45, 26syl2anc 391 . . . . . 6 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (y ·R u) R)
52 distrsrg 6647 . . . . . 6 ((-1R R (y ·R w) R (y ·R u) R) → (-1R ·R ((y ·R w) +R (y ·R u))) = ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u))))
5349, 50, 51, 52syl3anc 1134 . . . . 5 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (-1R ·R ((y ·R w) +R (y ·R u))) = ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u))))
5448, 53eqtrd 2069 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (-1R ·R (y ·R (w +R u))) = ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u))))
5542, 54oveq12d 5473 . . 3 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → ((x ·R (z +R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w +R u)))) = (((x ·R z) +R (x ·R v)) +R ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u)))))
5638, 39, 11syl2anc 391 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (x ·R z) R)
5738, 40, 25syl2anc 391 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (x ·R v) R)
5812, 50, 14sylancr 393 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (-1R ·R (y ·R w)) R)
59 addcomsrg 6643 . . . . 5 ((f R g R) → (f +R g) = (g +R f))
6059adantl 262 . . . 4 ((((x R y R) (z R w R) (v R u R)) (f R g R)) → (f +R g) = (g +R f))
61 addasssrg 6644 . . . . 5 ((f R g R R) → ((f +R g) +R ) = (f +R (g +R )))
6261adantl 262 . . . 4 ((((x R y R) (z R w R) (v R u R)) (f R g R R)) → ((f +R g) +R ) = (f +R (g +R )))
6312, 51, 27sylancr 393 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (-1R ·R (y ·R u)) R)
64 addclsr 6641 . . . . 5 ((f R g R) → (f +R g) R)
6564adantl 262 . . . 4 ((((x R y R) (z R w R) (v R u R)) (f R g R)) → (f +R g) R)
6656, 57, 58, 60, 62, 63, 65caov4d 5627 . . 3 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (((x ·R z) +R (x ·R v)) +R ((-1R ·R (y ·R w)) +R (-1R ·R (y ·R u)))) = (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) +R ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u)))))
6755, 66eqtrd 2069 . 2 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → ((x ·R (z +R v)) +R (-1R ·R (y ·R (w +R u)))) = (((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) +R ((x ·R v) +R (-1R ·R (y ·R u)))))
68 distrsrg 6647 . . . . 5 ((y R z R v R) → (y ·R (z +R v)) = ((y ·R z) +R (y ·R v)))
6943, 39, 40, 68syl3anc 1134 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (y ·R (z +R v)) = ((y ·R z) +R (y ·R v)))
70 distrsrg 6647 . . . . 5 ((x R w R u R) → (x ·R (w +R u)) = ((x ·R w) +R (x ·R u)))
7138, 44, 45, 70syl3anc 1134 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (x ·R (w +R u)) = ((x ·R w) +R (x ·R u)))
7269, 71oveq12d 5473 . . 3 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → ((y ·R (z +R v)) +R (x ·R (w +R u))) = (((y ·R z) +R (y ·R v)) +R ((x ·R w) +R (x ·R u))))
7343, 39, 19syl2anc 391 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (y ·R z) R)
7443, 40, 32syl2anc 391 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (y ·R v) R)
7538, 44, 20syl2anc 391 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (x ·R w) R)
7638, 45, 33syl2anc 391 . . . 4 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (x ·R u) R)
7773, 74, 75, 60, 62, 76, 65caov4d 5627 . . 3 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → (((y ·R z) +R (y ·R v)) +R ((x ·R w) +R (x ·R u))) = (((y ·R z) +R (x ·R w)) +R ((y ·R v) +R (x ·R u))))
7872, 77eqtrd 2069 . 2 (((x R y R) (z R w R) (v R u R)) → ((y ·R (z +R v)) +R (x ·R (w +R u))) = (((y ·R z) +R (x ·R w)) +R ((y ·R v) +R (x ·R u))))
791, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 67, 78ecovidi 6154 1 ((A B 𝐶 ℂ) → (A · (B + 𝐶)) = ((A · B) + (A · 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390   E cep 4015  ccnv 4287  (class class class)co 5455  Rcnr 6281  -1Rcm1r 6284   +R cplr 6285   ·R cmr 6286  cc 6669   + caddc 6674   · cmul 6676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-imp 6451  df-enr 6614  df-nr 6615  df-plr 6616  df-mr 6617  df-m1r 6621  df-c 6677  df-add 6682  df-mul 6683
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