Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axaddcl GIF version

 Description: Closure law for addition of complex numbers. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addcl 6980 be used later. Instead, in most cases use addcl 7006. (Contributed by NM, 14-Jun-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxpi 4361 . . . . 5 (𝐴 ∈ (R × R) → ∃𝑥𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)))
2 df-c 6895 . . . . 5 ℂ = (R × R)
31, 2eleq2s 2132 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)))
4 elxpi 4361 . . . . 5 (𝐵 ∈ (R × R) → ∃𝑧𝑤(𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R)))
54, 2eleq2s 2132 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → ∃𝑧𝑤(𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R)))
63, 5anim12i 321 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (∃𝑥𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ ∃𝑧𝑤(𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))))
7 ee4anv 1809 . . 3 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) ↔ (∃𝑥𝑦(𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ ∃𝑧𝑤(𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))))
86, 7sylibr 137 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∃𝑥𝑦𝑧𝑤((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))))
9 simpll 481 . . . . . . 7 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → 𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
10 simprl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → 𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩)
119, 10oveq12d 5530 . . . . . 6 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝐴 + 𝐵) = (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩))
12 addcnsr 6910 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩) = ⟨(𝑥 +R 𝑧), (𝑦 +R 𝑤)⟩)
1312ad2ant2l 477 . . . . . 6 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑧, 𝑤⟩) = ⟨(𝑥 +R 𝑧), (𝑦 +R 𝑤)⟩)
1411, 13eqtrd 2072 . . . . 5 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝐴 + 𝐵) = ⟨(𝑥 +R 𝑧), (𝑦 +R 𝑤)⟩)
15 addclsr 6838 . . . . . . . . 9 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 +R 𝑧) ∈ R)
1615ad2ant2r 478 . . . . . . . 8 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑥 +R 𝑧) ∈ R)
17 addclsr 6838 . . . . . . . . 9 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 +R 𝑤) ∈ R)
1817ad2ant2l 477 . . . . . . . 8 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (𝑦 +R 𝑤) ∈ R)
19 opelxpi 4376 . . . . . . . 8 (((𝑥 +R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑦 +R 𝑤) ∈ R) → ⟨(𝑥 +R 𝑧), (𝑦 +R 𝑤)⟩ ∈ (R × R))
2016, 18, 19syl2anc 391 . . . . . . 7 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ⟨(𝑥 +R 𝑧), (𝑦 +R 𝑤)⟩ ∈ (R × R))
2120, 2syl6eleqr 2131 . . . . . 6 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ⟨(𝑥 +R 𝑧), (𝑦 +R 𝑤)⟩ ∈ ℂ)
2221ad2ant2l 477 . . . . 5 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → ⟨(𝑥 +R 𝑧), (𝑦 +R 𝑤)⟩ ∈ ℂ)
2314, 22eqeltrd 2114 . . . 4 (((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2423exlimivv 1776 . . 3 (∃𝑧𝑤((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
2524exlimivv 1776 . 2 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤((𝐴 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∧ (𝑥R𝑦R)) ∧ (𝐵 = ⟨𝑧, 𝑤⟩ ∧ (𝑧R𝑤R))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
268, 25syl 14 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ⟨cop 3378   × cxp 4343  (class class class)co 5512  Rcnr 6395   +R cplr 6399  ℂcc 6887   + caddc 6892 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-iplp 6566  df-enr 6811  df-nr 6812  df-plr 6813  df-c 6895  df-add 6900 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator