ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apreap Structured version   GIF version

Theorem apreap 7323
Description: Complex apartness and real apartness agree on the real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
apreap ((A B ℝ) → (A # BA # B))

Proof of Theorem apreap
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 u x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2043 . . . . . . . 8 (x = A → (x = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ A = (𝑟 + (i · 𝑠))))
21anbi1d 438 . . . . . . 7 (x = A → ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) ↔ (A = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u)))))
32anbi1d 438 . . . . . 6 (x = A → (((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
432rexbidv 2343 . . . . 5 (x = A → (𝑡 u ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
542rexbidv 2343 . . . 4 (x = A → (𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
6 eqeq1 2043 . . . . . . . 8 (y = B → (y = (𝑡 + (i · u)) ↔ B = (𝑡 + (i · u))))
76anbi2d 437 . . . . . . 7 (y = B → ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) ↔ (A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u)))))
87anbi1d 438 . . . . . 6 (y = B → (((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
982rexbidv 2343 . . . . 5 (y = B → (𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
1092rexbidv 2343 . . . 4 (y = B → (𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
11 df-ap 7318 . . . 4 # = {⟨x, y⟩ ∣ 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((x = (𝑟 + (i · 𝑠)) y = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))}
125, 10, 11brabg 3996 . . 3 ((A B ℝ) → (A # B𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
13 simplll 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) → A ℝ)
1413adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → A ℝ)
15 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) → 𝑟 ℝ)
1615adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝑟 ℝ)
17 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) → 𝑠 ℝ)
1817adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝑠 ℝ)
19 simprll 489 . . . . . . . . . . . 12 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → A = (𝑟 + (i · 𝑠)))
20 rereim 7322 . . . . . . . . . . . 12 (((A 𝑟 ℝ) (𝑠 A = (𝑟 + (i · 𝑠)))) → (𝑟 = A 𝑠 = 0))
2114, 16, 18, 19, 20syl22anc 1135 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝑟 = A 𝑠 = 0))
2221simprd 107 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝑠 = 0)
23 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) → B ℝ)
2423adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → B ℝ)
25 simplrl 487 . . . . . . . . . . . 12 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝑡 ℝ)
26 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → u ℝ)
27 simprlr 490 . . . . . . . . . . . 12 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → B = (𝑡 + (i · u)))
28 rereim 7322 . . . . . . . . . . . 12 (((B 𝑡 ℝ) (u B = (𝑡 + (i · u)))) → (𝑡 = B u = 0))
2924, 25, 26, 27, 28syl22anc 1135 . . . . . . . . . . 11 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝑡 = B u = 0))
3029simprd 107 . . . . . . . . . 10 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → u = 0)
3122, 30eqtr4d 2072 . . . . . . . . 9 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝑠 = u)
32 reapti 7315 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 u ℝ) → (𝑠 = u ↔ ¬ 𝑠 # u))
3318, 26, 32syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝑠 = u ↔ ¬ 𝑠 # u))
3431, 33mpbid 135 . . . . . . . 8 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → ¬ 𝑠 # u)
35 simprr 484 . . . . . . . 8 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))
3634, 35ecased 1238 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝑟 # 𝑡)
3721simpld 105 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝑟 = A)
3829simpld 105 . . . . . . 7 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → 𝑡 = B)
3936, 37, 383brtr3d 3783 . . . . . 6 (((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))) → A # B)
4039ex 108 . . . . 5 ((((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) (𝑡 u ℝ)) → (((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) → A # B))
4140rexlimdvva 2434 . . . 4 (((A B ℝ) (𝑟 𝑠 ℝ)) → (𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) → A # B))
4241rexlimdvva 2434 . . 3 ((A B ℝ) → (𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) → A # B))
4312, 42sylbid 139 . 2 ((A B ℝ) → (A # BA # B))
44 ax-icn 6730 . . . . . . . 8 i
4544mul01i 7136 . . . . . . 7 (i · 0) = 0
4645oveq2i 5463 . . . . . 6 (A + (i · 0)) = (A + 0)
47 simp1 903 . . . . . . . 8 ((A B A # B) → A ℝ)
4847recnd 6803 . . . . . . 7 ((A B A # B) → A ℂ)
4948addid1d 6911 . . . . . 6 ((A B A # B) → (A + 0) = A)
5046, 49syl5req 2082 . . . . 5 ((A B A # B) → A = (A + (i · 0)))
5145oveq2i 5463 . . . . . 6 (B + (i · 0)) = (B + 0)
52 simp2 904 . . . . . . . 8 ((A B A # B) → B ℝ)
5352recnd 6803 . . . . . . 7 ((A B A # B) → B ℂ)
5453addid1d 6911 . . . . . 6 ((A B A # B) → (B + 0) = B)
5551, 54syl5req 2082 . . . . 5 ((A B A # B) → B = (B + (i · 0)))
56 olc 631 . . . . . . 7 (A # B → (0 # 0 A # B))
57563ad2ant3 926 . . . . . 6 ((A B A # B) → (0 # 0 A # B))
5857orcomd 647 . . . . 5 ((A B A # B) → (A # B 0 # 0))
5950, 55, 58jca31 292 . . . 4 ((A B A # B) → ((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · 0))) (A # B 0 # 0)))
60 0red 6778 . . . . . . . 8 ((A B A # B) → 0 ℝ)
61 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 (((A B A # B) u = 0) → u = 0)
6261oveq2d 5468 . . . . . . . . . . . 12 (((A B A # B) u = 0) → (i · u) = (i · 0))
6362oveq2d 5468 . . . . . . . . . . 11 (((A B A # B) u = 0) → (B + (i · u)) = (B + (i · 0)))
6463eqeq2d 2048 . . . . . . . . . 10 (((A B A # B) u = 0) → (B = (B + (i · u)) ↔ B = (B + (i · 0))))
6564anbi2d 437 . . . . . . . . 9 (((A B A # B) u = 0) → ((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · u))) ↔ (A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · 0)))))
6661breq2d 3766 . . . . . . . . . 10 (((A B A # B) u = 0) → (0 # u ↔ 0 # 0))
6766orbi2d 703 . . . . . . . . 9 (((A B A # B) u = 0) → ((A # B 0 # u) ↔ (A # B 0 # 0)))
6865, 67anbi12d 442 . . . . . . . 8 (((A B A # B) u = 0) → (((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · u))) (A # B 0 # u)) ↔ ((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · 0))) (A # B 0 # 0))))
6960, 68rspcedv 2654 . . . . . . 7 ((A B A # B) → (((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · 0))) (A # B 0 # 0)) → u ℝ ((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · u))) (A # B 0 # u))))
70 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 (((A B A # B) 𝑡 = B) → 𝑡 = B)
7170oveq1d 5467 . . . . . . . . . . . 12 (((A B A # B) 𝑡 = B) → (𝑡 + (i · u)) = (B + (i · u)))
7271eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . 11 (((A B A # B) 𝑡 = B) → (B = (𝑡 + (i · u)) ↔ B = (B + (i · u))))
7372anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (((A B A # B) 𝑡 = B) → ((A = (A + (i · 0)) B = (𝑡 + (i · u))) ↔ (A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · u)))))
7470breq2d 3766 . . . . . . . . . . 11 (((A B A # B) 𝑡 = B) → (A # 𝑡A # B))
7574orbi1d 704 . . . . . . . . . 10 (((A B A # B) 𝑡 = B) → ((A # 𝑡 0 # u) ↔ (A # B 0 # u)))
7673, 75anbi12d 442 . . . . . . . . 9 (((A B A # B) 𝑡 = B) → (((A = (A + (i · 0)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 0 # u)) ↔ ((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · u))) (A # B 0 # u))))
7776rexbidv 2321 . . . . . . . 8 (((A B A # B) 𝑡 = B) → (u ℝ ((A = (A + (i · 0)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 0 # u)) ↔ u ℝ ((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · u))) (A # B 0 # u))))
7852, 77rspcedv 2654 . . . . . . 7 ((A B A # B) → (u ℝ ((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · u))) (A # B 0 # u)) → 𝑡 u ℝ ((A = (A + (i · 0)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 0 # u))))
7969, 78syld 40 . . . . . 6 ((A B A # B) → (((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · 0))) (A # B 0 # 0)) → 𝑡 u ℝ ((A = (A + (i · 0)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 0 # u))))
80 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 (((A B A # B) 𝑠 = 0) → 𝑠 = 0)
8180oveq2d 5468 . . . . . . . . . . . 12 (((A B A # B) 𝑠 = 0) → (i · 𝑠) = (i · 0))
8281oveq2d 5468 . . . . . . . . . . 11 (((A B A # B) 𝑠 = 0) → (A + (i · 𝑠)) = (A + (i · 0)))
8382eqeq2d 2048 . . . . . . . . . 10 (((A B A # B) 𝑠 = 0) → (A = (A + (i · 𝑠)) ↔ A = (A + (i · 0))))
8483anbi1d 438 . . . . . . . . 9 (((A B A # B) 𝑠 = 0) → ((A = (A + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) ↔ (A = (A + (i · 0)) B = (𝑡 + (i · u)))))
8580breq1d 3764 . . . . . . . . . 10 (((A B A # B) 𝑠 = 0) → (𝑠 # u ↔ 0 # u))
8685orbi2d 703 . . . . . . . . 9 (((A B A # B) 𝑠 = 0) → ((A # 𝑡 𝑠 # u) ↔ (A # 𝑡 0 # u)))
8784, 86anbi12d 442 . . . . . . . 8 (((A B A # B) 𝑠 = 0) → (((A = (A + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ ((A = (A + (i · 0)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 0 # u))))
88872rexbidv 2343 . . . . . . 7 (((A B A # B) 𝑠 = 0) → (𝑡 u ℝ ((A = (A + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑡 u ℝ ((A = (A + (i · 0)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 0 # u))))
8960, 88rspcedv 2654 . . . . . 6 ((A B A # B) → (𝑡 u ℝ ((A = (A + (i · 0)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 0 # u)) → 𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (A + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u))))
90 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 (((A B A # B) 𝑟 = A) → 𝑟 = A)
9190oveq1d 5467 . . . . . . . . . . . 12 (((A B A # B) 𝑟 = A) → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (A + (i · 𝑠)))
9291eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . 11 (((A B A # B) 𝑟 = A) → (A = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ A = (A + (i · 𝑠))))
9392anbi1d 438 . . . . . . . . . 10 (((A B A # B) 𝑟 = A) → ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) ↔ (A = (A + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u)))))
9490breq1d 3764 . . . . . . . . . . 11 (((A B A # B) 𝑟 = A) → (𝑟 # 𝑡A # 𝑡))
9594orbi1d 704 . . . . . . . . . 10 (((A B A # B) 𝑟 = A) → ((𝑟 # 𝑡 𝑠 # u) ↔ (A # 𝑡 𝑠 # u)))
9693, 95anbi12d 442 . . . . . . . . 9 (((A B A # B) 𝑟 = A) → (((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ ((A = (A + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u))))
9796rexbidv 2321 . . . . . . . 8 (((A B A # B) 𝑟 = A) → (u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ u ℝ ((A = (A + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u))))
98972rexbidv 2343 . . . . . . 7 (((A B A # B) 𝑟 = A) → (𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u)) ↔ 𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (A + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u))))
9947, 98rspcedv 2654 . . . . . 6 ((A B A # B) → (𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (A + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (A # 𝑡 𝑠 # u)) → 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
10079, 89, 993syld 51 . . . . 5 ((A B A # B) → (((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · 0))) (A # B 0 # 0)) → 𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
101123adant3 923 . . . . 5 ((A B A # B) → (A # B𝑟 𝑠 𝑡 u ℝ ((A = (𝑟 + (i · 𝑠)) B = (𝑡 + (i · u))) (𝑟 # 𝑡 𝑠 # u))))
102100, 101sylibrd 158 . . . 4 ((A B A # B) → (((A = (A + (i · 0)) B = (B + (i · 0))) (A # B 0 # 0)) → A # B))
10359, 102mpd 13 . . 3 ((A B A # B) → A # B)
1041033expia 1105 . 2 ((A B ℝ) → (A # BA # B))
10543, 104impbid 120 1 ((A B ℝ) → (A # BA # B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   class class class wbr 3754  (class class class)co 5452  cr 6662  0cc0 6663  ici 6665   + caddc 6666   · cmul 6668   # creap 7310   # cap 7317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-nul 3873  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-iinf 4253  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-1re 6729  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-mulrcl 6734  ax-addcom 6735  ax-mulcom 6736  ax-addass 6737  ax-mulass 6738  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-1rid 6742  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-precex 6745  ax-cnre 6746  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-lttrn 6749  ax-pre-apti 6750  ax-pre-ltadd 6751  ax-pre-mulgt0 6752
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-int 3606  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-eprel 4016  df-id 4020  df-po 4023  df-iso 4024  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-iom 4256  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-1st 5706  df-2nd 5707  df-recs 5858  df-irdg 5894  df-1o 5933  df-2o 5934  df-oadd 5937  df-omul 5938  df-er 6035  df-ec 6037  df-qs 6041  df-ni 6281  df-pli 6282  df-mi 6283  df-lti 6284  df-plpq 6321  df-mpq 6322  df-enq 6324  df-nqqs 6325  df-plqqs 6326  df-mqqs 6327  df-1nqqs 6328  df-rq 6329  df-ltnqqs 6330  df-enq0 6399  df-nq0 6400  df-0nq0 6401  df-plq0 6402  df-mq0 6403  df-inp 6441  df-i1p 6442  df-iplp 6443  df-iltp 6445  df-enr 6606  df-nr 6607  df-ltr 6610  df-0r 6611  df-1r 6612  df-0 6670  df-1 6671  df-r 6673  df-lt 6676  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-ltxr 6814  df-sub 6933  df-neg 6934  df-reap 7311  df-ap 7318
This theorem is referenced by:  reaplt  7324  apreim  7339  apirr  7341  apti  7358  recexap  7368  rerecclap  7440
  Copyright terms: Public domain W3C validator