Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  apreap GIF version

Theorem apreap 7578
 Description: Complex apartness and real apartness agree on the real numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
apreap ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵𝐴 # 𝐵))

Proof of Theorem apreap
Dummy variables 𝑟 𝑠 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2046 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ 𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠))))
21anbi1d 438 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
32anbi1d 438 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
432rexbidv 2349 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
542rexbidv 2349 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
6 eqeq1 2046 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))))
76anbi2d 437 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
87anbi1d 438 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐵 → (((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
982rexbidv 2349 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
1092rexbidv 2349 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
11 df-ap 7573 . . . 4 # = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝑥 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝑦 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))}
125, 10, 11brabg 4006 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
13 simplll 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1413adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝐴 ∈ ℝ)
15 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → 𝑟 ∈ ℝ)
1615adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝑟 ∈ ℝ)
17 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1817adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝑠 ∈ ℝ)
19 simprll 489 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)))
20 rereim 7577 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)))) → (𝑟 = 𝐴𝑠 = 0))
2114, 16, 18, 19, 20syl22anc 1136 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → (𝑟 = 𝐴𝑠 = 0))
2221simprd 107 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝑠 = 0)
23 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
2423adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 simplrl 487 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝑡 ∈ ℝ)
26 simplrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝑢 ∈ ℝ)
27 simprlr 490 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)))
28 rereim 7577 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑢 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)))) → (𝑡 = 𝐵𝑢 = 0))
2924, 25, 26, 27, 28syl22anc 1136 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → (𝑡 = 𝐵𝑢 = 0))
3029simprd 107 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝑢 = 0)
3122, 30eqtr4d 2075 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝑠 = 𝑢)
32 reapti 7570 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ) → (𝑠 = 𝑢 ↔ ¬ 𝑠 # 𝑢))
3318, 26, 32syl2anc 391 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → (𝑠 = 𝑢 ↔ ¬ 𝑠 # 𝑢))
3431, 33mpbid 135 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → ¬ 𝑠 # 𝑢)
35 simprr 484 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))
3634, 35ecased 1239 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝑟 # 𝑡)
3721simpld 105 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝑟 = 𝐴)
3829simpld 105 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝑡 = 𝐵)
3936, 37, 383brtr3d 3793 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) ∧ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))) → 𝐴 # 𝐵)
4039ex 108 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ)) → (((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) → 𝐴 # 𝐵))
4140rexlimdvva 2440 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) → 𝐴 # 𝐵))
4241rexlimdvva 2440 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) → 𝐴 # 𝐵))
4312, 42sylbid 139 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵𝐴 # 𝐵))
44 ax-icn 6979 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
4544mul01i 7388 . . . . . . 7 (i · 0) = 0
4645oveq2i 5523 . . . . . 6 (𝐴 + (i · 0)) = (𝐴 + 0)
47 simp1 904 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
4847recnd 7054 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
4948addid1d 7162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 + 0) = 𝐴)
5046, 49syl5req 2085 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 = (𝐴 + (i · 0)))
5145oveq2i 5523 . . . . . 6 (𝐵 + (i · 0)) = (𝐵 + 0)
52 simp2 905 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5352recnd 7054 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
5453addid1d 7162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
5551, 54syl5req 2085 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐵 = (𝐵 + (i · 0)))
56 olc 632 . . . . . . 7 (𝐴 # 𝐵 → (0 # 0 ∨ 𝐴 # 𝐵))
57563ad2ant3 927 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (0 # 0 ∨ 𝐴 # 𝐵))
5857orcomd 648 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 0))
5950, 55, 58jca31 292 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 0)))
60 0red 7028 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
61 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → 𝑢 = 0)
6261oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → (i · 𝑢) = (i · 0))
6362oveq2d 5528 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → (𝐵 + (i · 𝑢)) = (𝐵 + (i · 0)))
6463eqeq2d 2051 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → (𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢)) ↔ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))))
6564anbi2d 437 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0)))))
6661breq2d 3776 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → (0 # 𝑢 ↔ 0 # 0))
6766orbi2d 704 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → ((𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 𝑢) ↔ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 0)))
6865, 67anbi12d 442 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑢 = 0) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 0))))
6960, 68rspcedv 2660 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 0)) → ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 𝑢))))
70 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → 𝑡 = 𝐵)
7170oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → (𝑡 + (i · 𝑢)) = (𝐵 + (i · 𝑢)))
7271eqeq2d 2051 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → (𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)) ↔ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))))
7372anbi2d 437 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢)))))
7470breq2d 3776 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → (𝐴 # 𝑡𝐴 # 𝐵))
7574orbi1d 705 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → ((𝐴 # 𝑡 ∨ 0 # 𝑢) ↔ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 𝑢)))
7673, 75anbi12d 442 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡 ∨ 0 # 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 𝑢))))
7776rexbidv 2327 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑡 = 𝐵) → (∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡 ∨ 0 # 𝑢)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 𝑢))))
7852, 77rspcedv 2660 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 𝑢)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡 ∨ 0 # 𝑢))))
7969, 78syld 40 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 0)) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡 ∨ 0 # 𝑢))))
80 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 𝑠 = 0)
8180oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (i · 𝑠) = (i · 0))
8281oveq2d 5528 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (𝐴 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 0)))
8382eqeq2d 2051 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ↔ 𝐴 = (𝐴 + (i · 0))))
8483anbi1d 438 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
8580breq1d 3774 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (𝑠 # 𝑢 ↔ 0 # 𝑢))
8685orbi2d 704 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → ((𝐴 # 𝑡𝑠 # 𝑢) ↔ (𝐴 # 𝑡 ∨ 0 # 𝑢)))
8784, 86anbi12d 442 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡 ∨ 0 # 𝑢))))
88872rexbidv 2349 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) ↔ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡 ∨ 0 # 𝑢))))
8960, 88rspcedv 2660 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡 ∨ 0 # 𝑢)) → ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
90 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → 𝑟 = 𝐴)
9190oveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (𝑟 + (i · 𝑠)) = (𝐴 + (i · 𝑠)))
9291eqeq2d 2051 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ↔ 𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠))))
9392anbi1d 438 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ↔ (𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢)))))
9490breq1d 3774 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (𝑟 # 𝑡𝐴 # 𝑡))
9594orbi1d 705 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → ((𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢) ↔ (𝐴 # 𝑡𝑠 # 𝑢)))
9693, 95anbi12d 442 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) ↔ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
9796rexbidv 2327 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
98972rexbidv 2349 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐴) → (∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
9947, 98rspcedv 2660 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝐴 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝐴 # 𝑡𝑠 # 𝑢)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
10079, 89, 993syld 51 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 0)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
101123adant3 924 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (𝐴 # 𝐵 ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ ∃𝑠 ∈ ℝ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑢 ∈ ℝ ((𝐴 = (𝑟 + (i · 𝑠)) ∧ 𝐵 = (𝑡 + (i · 𝑢))) ∧ (𝑟 # 𝑡𝑠 # 𝑢))))
102100, 101sylibrd 158 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → (((𝐴 = (𝐴 + (i · 0)) ∧ 𝐵 = (𝐵 + (i · 0))) ∧ (𝐴 # 𝐵 ∨ 0 # 0)) → 𝐴 # 𝐵))
10359, 102mpd 13 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 # 𝐵) → 𝐴 # 𝐵)
1041033expia 1106 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵𝐴 # 𝐵))
10543, 104impbid 120 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 # 𝐵𝐴 # 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  ℝcr 6888  0cc0 6889  ici 6891   + caddc 6892   · cmul 6894   #ℝ creap 7565   # cap 7572 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-ltxr 7065  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573 This theorem is referenced by:  reaplt  7579  apreim  7594  apirr  7596  apti  7613  recexap  7634  rerecclap  7706
 Copyright terms: Public domain W3C validator