ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addsubeq4 Structured version   GIF version

Theorem addsubeq4 6983
Description: Relation between sums and differences. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
addsubeq4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + B) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶A) = (B𝐷)))

Proof of Theorem addsubeq4
StepHypRef Expression
1 eqcom 2039 . . 3 ((𝐶A) = (B𝐷) ↔ (B𝐷) = (𝐶A))
2 subcl 6967 . . . . . 6 ((𝐶 A ℂ) → (𝐶A) ℂ)
32ancoms 255 . . . . 5 ((A 𝐶 ℂ) → (𝐶A) ℂ)
4 subadd 6971 . . . . . . 7 ((B 𝐷 (𝐶A) ℂ) → ((B𝐷) = (𝐶A) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
543expa 1103 . . . . . 6 (((B 𝐷 ℂ) (𝐶A) ℂ) → ((B𝐷) = (𝐶A) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
65ancoms 255 . . . . 5 (((𝐶A) (B 𝐷 ℂ)) → ((B𝐷) = (𝐶A) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
73, 6sylan 267 . . . 4 (((A 𝐶 ℂ) (B 𝐷 ℂ)) → ((B𝐷) = (𝐶A) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
87an4s 522 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((B𝐷) = (𝐶A) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
91, 8syl5bb 181 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((𝐶A) = (B𝐷) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
10 addcom 6907 . . . . . . 7 ((𝐶 𝐷 ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
1110adantl 262 . . . . . 6 ((A (𝐶 𝐷 ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
1211oveq1d 5470 . . . . 5 ((A (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = ((𝐷 + 𝐶) − A))
13 addsubass 6978 . . . . . . . 8 ((𝐷 𝐶 A ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
14133com12 1107 . . . . . . 7 ((𝐶 𝐷 A ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
15143expa 1103 . . . . . 6 (((𝐶 𝐷 ℂ) A ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
1615ancoms 255 . . . . 5 ((A (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
1712, 16eqtrd 2069 . . . 4 ((A (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
1817adantlr 446 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
1918eqeq1d 2045 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
20 addcl 6764 . . 3 ((𝐶 𝐷 ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ℂ)
21 subadd 6971 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐷) A B ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
22213expb 1104 . . . 4 (((𝐶 + 𝐷) (A B ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
2322ancoms 255 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 + 𝐷) ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
2420, 23sylan2 270 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
259, 19, 243bitr2rd 206 1 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + B) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶A) = (B𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669   + caddc 6674  cmin 6939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941
This theorem is referenced by:  subcan  7022  addsubeq4d  7129
  Copyright terms: Public domain W3C validator