Theorem addsubeq4 6827

Description: Relation between sums and differences. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
addsubeq4	⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((A + B) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 − A) = (B − 𝐷)))

Proof of Theorem addsubeq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2016	. . 3 ⊢ ((𝐶 − A) = (B − 𝐷) ↔ (B − 𝐷) = (𝐶 − A))
2		subcl 6811	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → (𝐶 − A) ∈ ℂ)
3	2	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 − A) ∈ ℂ)
4		subadd 6815	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − A) ∈ ℂ) → ((B − 𝐷) = (𝐶 − A) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
5	4	3expa 1085	. . . . . 6 ⊢ (((B ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 − A) ∈ ℂ) → ((B − 𝐷) = (𝐶 − A) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
6	5	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − A) ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((B − 𝐷) = (𝐶 − A) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
7	3, 6	sylan 267	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((B − 𝐷) = (𝐶 − A) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
8	7	an4s 507	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((B − 𝐷) = (𝐶 − A) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
9	1, 8	syl5bb 181	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − A) = (B − 𝐷) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
10		addcom 6751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
11	10	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
12	11	oveq1d 5440	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = ((𝐷 + 𝐶) − A))
13		addsubass 6822	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
14	13	3com12 1089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
15	14	3expa 1085	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ A ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
16	15	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
17	12, 16	eqtrd 2046	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
18	17	adantlr 446	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
19	18	eqeq1d 2022	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
20		addcl 6608	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
21		subadd 6815	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
22	21	3expb 1086	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
23	22	ancoms 255	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
24	20, 23	sylan2 270	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
25	9, 19, 24	3bitr2rd 206	1 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((A + B) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 − A) = (B − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1224   ∈ wcel 1367  (class class class)co 5425  ℂcc 6519   + caddc 6524   − cmin 6783

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1310  ax-7 1311  ax-gen 1312  ax-ie1 1356  ax-ie2 1357  ax-8 1369  ax-10 1370  ax-11 1371  ax-i12 1372  ax-bnd 1373  ax-4 1374  ax-14 1379  ax-17 1393  ax-i9 1397  ax-ial 1401  ax-i5r 1402  ax-ext 1996  ax-sep 3839  ax-pow 3891  ax-pr 3908  ax-setind 4193  ax-resscn 6580  ax-1cn 6581  ax-icn 6583  ax-addcl 6584  ax-addrcl 6585  ax-mulcl 6586  ax-addcom 6588  ax-addass 6590  ax-distr 6592  ax-i2m1 6593  ax-0id 6596  ax-rnegex 6597  ax-cnre 6599

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1227  df-fal 1230  df-nf 1324  df-sb 1620  df-eu 1877  df-mo 1878  df-clab 2001  df-cleq 2007  df-clel 2010  df-nfc 2141  df-ne 2180  df-ral 2281  df-rex 2282  df-reu 2283  df-rab 2285  df-v 2529  df-sbc 2734  df-dif 2889  df-un 2891  df-in 2893  df-ss 2900  df-pw 3326  df-sn 3346  df-pr 3347  df-op 3349  df-uni 3545  df-br 3729  df-opab 3783  df-id 3994  df-xp 4267  df-rel 4268  df-cnv 4269  df-co 4270  df-dm 4271  df-iota 4783  df-fun 4820  df-fv 4826  df-riota 5382  df-ov 5428  df-oprab 5429  df-mpt2 5430  df-sub 6785

This theorem is referenced by:  subcan  6866  addsubeq4d  6973