Theorem addsubeq4 7023

Description: Relation between sums and differences. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
addsubeq4	⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((A + B) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 − A) = (B − 𝐷)))

Proof of Theorem addsubeq4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2039	. . 3 ⊢ ((𝐶 − A) = (B − 𝐷) ↔ (B − 𝐷) = (𝐶 − A))
2		subcl 7007	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → (𝐶 − A) ∈ ℂ)
3	2	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 − A) ∈ ℂ)
4		subadd 7011	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ (𝐶 − A) ∈ ℂ) → ((B − 𝐷) = (𝐶 − A) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
5	4	3expa 1103	. . . . . 6 ⊢ (((B ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 − A) ∈ ℂ) → ((B − 𝐷) = (𝐶 − A) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
6	5	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − A) ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((B − 𝐷) = (𝐶 − A) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
7	3, 6	sylan 267	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (B ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((B − 𝐷) = (𝐶 − A) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
8	7	an4s 522	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((B − 𝐷) = (𝐶 − A) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
9	1, 8	syl5bb 181	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 − A) = (B − 𝐷) ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
10		addcom 6947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
11	10	adantl 262	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
12	11	oveq1d 5470	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = ((𝐷 + 𝐶) − A))
13		addsubass 7018	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
14	13	3com12 1107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
15	14	3expa 1103	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ A ∈ ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
16	15	ancoms 255	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
17	12, 16	eqtrd 2069	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
18	17	adantlr 446	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = (𝐷 + (𝐶 − A)))
19	18	eqeq1d 2045	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (𝐷 + (𝐶 − A)) = B))
20		addcl 6804	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ)
21		subadd 7011	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
22	21	3expb 1104	. . . 4 ⊢ (((𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ ∧ (A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
23	22	ancoms 255	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
24	20, 23	sylan2 270	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
25	9, 19, 24	3bitr2rd 206	1 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((A + B) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶 − A) = (B − 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  ℂcc 6709   + caddc 6714   − cmin 6979

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981

This theorem is referenced by:  subcan  7062  addsubeq4d  7169