ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addsubeq4 Structured version   GIF version

Theorem addsubeq4 6827
Description: Relation between sums and differences. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
addsubeq4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + B) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶A) = (B𝐷)))

Proof of Theorem addsubeq4
StepHypRef Expression
1 eqcom 2016 . . 3 ((𝐶A) = (B𝐷) ↔ (B𝐷) = (𝐶A))
2 subcl 6811 . . . . . 6 ((𝐶 A ℂ) → (𝐶A) ℂ)
32ancoms 255 . . . . 5 ((A 𝐶 ℂ) → (𝐶A) ℂ)
4 subadd 6815 . . . . . . 7 ((B 𝐷 (𝐶A) ℂ) → ((B𝐷) = (𝐶A) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
543expa 1085 . . . . . 6 (((B 𝐷 ℂ) (𝐶A) ℂ) → ((B𝐷) = (𝐶A) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
65ancoms 255 . . . . 5 (((𝐶A) (B 𝐷 ℂ)) → ((B𝐷) = (𝐶A) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
73, 6sylan 267 . . . 4 (((A 𝐶 ℂ) (B 𝐷 ℂ)) → ((B𝐷) = (𝐶A) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
87an4s 507 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((B𝐷) = (𝐶A) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
91, 8syl5bb 181 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((𝐶A) = (B𝐷) ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
10 addcom 6751 . . . . . . 7 ((𝐶 𝐷 ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
1110adantl 262 . . . . . 6 ((A (𝐶 𝐷 ℂ)) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
1211oveq1d 5440 . . . . 5 ((A (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = ((𝐷 + 𝐶) − A))
13 addsubass 6822 . . . . . . . 8 ((𝐷 𝐶 A ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
14133com12 1089 . . . . . . 7 ((𝐶 𝐷 A ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
15143expa 1085 . . . . . 6 (((𝐶 𝐷 ℂ) A ℂ) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
1615ancoms 255 . . . . 5 ((A (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((𝐷 + 𝐶) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
1712, 16eqtrd 2046 . . . 4 ((A (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
1817adantlr 446 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((𝐶 + 𝐷) − A) = (𝐷 + (𝐶A)))
1918eqeq1d 2022 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (𝐷 + (𝐶A)) = B))
20 addcl 6608 . . 3 ((𝐶 𝐷 ℂ) → (𝐶 + 𝐷) ℂ)
21 subadd 6815 . . . . 5 (((𝐶 + 𝐷) A B ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
22213expb 1086 . . . 4 (((𝐶 + 𝐷) (A B ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
2322ancoms 255 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 + 𝐷) ℂ) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
2420, 23sylan2 270 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (((𝐶 + 𝐷) − A) = B ↔ (A + B) = (𝐶 + 𝐷)))
259, 19, 243bitr2rd 206 1 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + B) = (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐶A) = (B𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1224   wcel 1367  (class class class)co 5425  cc 6519   + caddc 6524  cmin 6783
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1310  ax-7 1311  ax-gen 1312  ax-ie1 1356  ax-ie2 1357  ax-8 1369  ax-10 1370  ax-11 1371  ax-i12 1372  ax-bnd 1373  ax-4 1374  ax-14 1379  ax-17 1393  ax-i9 1397  ax-ial 1401  ax-i5r 1402  ax-ext 1996  ax-sep 3839  ax-pow 3891  ax-pr 3908  ax-setind 4193  ax-resscn 6580  ax-1cn 6581  ax-icn 6583  ax-addcl 6584  ax-addrcl 6585  ax-mulcl 6586  ax-addcom 6588  ax-addass 6590  ax-distr 6592  ax-i2m1 6593  ax-0id 6596  ax-rnegex 6597  ax-cnre 6599
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1227  df-fal 1230  df-nf 1324  df-sb 1620  df-eu 1877  df-mo 1878  df-clab 2001  df-cleq 2007  df-clel 2010  df-nfc 2141  df-ne 2180  df-ral 2281  df-rex 2282  df-reu 2283  df-rab 2285  df-v 2529  df-sbc 2734  df-dif 2889  df-un 2891  df-in 2893  df-ss 2900  df-pw 3326  df-sn 3346  df-pr 3347  df-op 3349  df-uni 3545  df-br 3729  df-opab 3783  df-id 3994  df-xp 4267  df-rel 4268  df-cnv 4269  df-co 4270  df-dm 4271  df-iota 4783  df-fun 4820  df-fv 4826  df-riota 5382  df-ov 5428  df-oprab 5429  df-mpt2 5430  df-sub 6785
This theorem is referenced by:  subcan  6866  addsubeq4d  6973
  Copyright terms: Public domain W3C validator