ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addsub4 Structured version   GIF version

Theorem addsub4 7030
Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed addition and subtraction. (Contributed by NM, 4-Mar-2005.)
Assertion
Ref Expression
addsub4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + B) − (𝐶 + 𝐷)) = ((A𝐶) + (B𝐷)))

Proof of Theorem addsub4
StepHypRef Expression
1 simpll 481 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → A ℂ)
2 simplr 482 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → B ℂ)
3 simprl 483 . . . 4 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → 𝐶 ℂ)
4 addsub 6999 . . . 4 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A + B) − 𝐶) = ((A𝐶) + B))
51, 2, 3, 4syl3anc 1134 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + B) − 𝐶) = ((A𝐶) + B))
65oveq1d 5470 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (((A + B) − 𝐶) − 𝐷) = (((A𝐶) + B) − 𝐷))
71, 2addcld 6824 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (A + B) ℂ)
8 simprr 484 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → 𝐷 ℂ)
9 subsub4 7020 . . 3 (((A + B) 𝐶 𝐷 ℂ) → (((A + B) − 𝐶) − 𝐷) = ((A + B) − (𝐶 + 𝐷)))
107, 3, 8, 9syl3anc 1134 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (((A + B) − 𝐶) − 𝐷) = ((A + B) − (𝐶 + 𝐷)))
11 subcl 6987 . . . 4 ((A 𝐶 ℂ) → (A𝐶) ℂ)
1211ad2ant2r 478 . . 3 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (A𝐶) ℂ)
13 addsubass 6998 . . 3 (((A𝐶) B 𝐷 ℂ) → (((A𝐶) + B) − 𝐷) = ((A𝐶) + (B𝐷)))
1412, 2, 8, 13syl3anc 1134 . 2 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → (((A𝐶) + B) − 𝐷) = ((A𝐶) + (B𝐷)))
156, 10, 143eqtr3d 2077 1 (((A B ℂ) (𝐶 𝐷 ℂ)) → ((A + B) − (𝐶 + 𝐷)) = ((A𝐶) + (B𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6689   + caddc 6694  cmin 6959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6961
This theorem is referenced by:  subadd4  7031  addsub4i  7083  addsub4d  7145
  Copyright terms: Public domain W3C validator