ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addsub Structured version   GIF version

Theorem addsub 6824
Description: Law for addition and subtraction. (Contributed by NM, 19-Aug-2001.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
addsub ((A B 𝐶 ℂ) → ((A + B) − 𝐶) = ((A𝐶) + B))

Proof of Theorem addsub
StepHypRef Expression
1 addcom 6752 . . . 4 ((A B ℂ) → (A + B) = (B + A))
21oveq1d 5447 . . 3 ((A B ℂ) → ((A + B) − 𝐶) = ((B + A) − 𝐶))
323adant3 910 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A + B) − 𝐶) = ((B + A) − 𝐶))
4 addsubass 6823 . . 3 ((B A 𝐶 ℂ) → ((B + A) − 𝐶) = (B + (A𝐶)))
543com12 1092 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → ((B + A) − 𝐶) = (B + (A𝐶)))
6 subcl 6812 . . . . 5 ((A 𝐶 ℂ) → (A𝐶) ℂ)
7 addcom 6752 . . . . 5 ((B (A𝐶) ℂ) → (B + (A𝐶)) = ((A𝐶) + B))
86, 7sylan2 270 . . . 4 ((B (A 𝐶 ℂ)) → (B + (A𝐶)) = ((A𝐶) + B))
983impb 1084 . . 3 ((B A 𝐶 ℂ) → (B + (A𝐶)) = ((A𝐶) + B))
1093com12 1092 . 2 ((A B 𝐶 ℂ) → (B + (A𝐶)) = ((A𝐶) + B))
113, 5, 103eqtrd 2054 1 ((A B 𝐶 ℂ) → ((A + B) − 𝐶) = ((A𝐶) + B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   w3a 871   = wceq 1226   wcel 1370  (class class class)co 5432  cc 6522   + caddc 6527  cmin 6784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914  ax-setind 4200  ax-resscn 6582  ax-1cn 6583  ax-icn 6585  ax-addcl 6586  ax-addrcl 6587  ax-mulcl 6588  ax-addcom 6590  ax-addass 6592  ax-distr 6594  ax-i2m1 6595  ax-0id 6598  ax-rnegex 6599  ax-cnre 6601
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fv 4833  df-riota 5389  df-ov 5435  df-oprab 5436  df-mpt2 5437  df-sub 6786
This theorem is referenced by:  subadd23  6825  2addsub  6827  nnpcan  6835  subsub  6842  npncan3  6850  addsub4  6855  addsubi  6904  addsubd  6944
  Copyright terms: Public domain W3C validator