ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addgt0ii GIF version

Theorem addgt0ii 7483
Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt2.1 𝐴 ∈ ℝ
lt2.2 𝐵 ∈ ℝ
addgt0i.3 0 < 𝐴
addgt0i.4 0 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
addgt0ii 0 < (𝐴 + 𝐵)

Proof of Theorem addgt0ii
StepHypRef Expression
1 addgt0i.3 . 2 0 < 𝐴
2 addgt0i.4 . 2 0 < 𝐵
3 lt2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
4 lt2.2 . . 3 𝐵 ∈ ℝ
53, 4addgt0i 7480 . 2 ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 + 𝐵))
61, 2, 5mp2an 402 1 0 < (𝐴 + 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512  cr 6888  0cc0 6889   + caddc 6892   < clt 7060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-iota 4867  df-fv 4910  df-ov 5515  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-ltxr 7065
This theorem is referenced by:  eqneg  7708  2pos  8007  3pos  8010  4pos  8013  5pos  8016  6pos  8017  7pos  8018  8pos  8019  9pos  8020  10pos  8021
  Copyright terms: Public domain W3C validator