ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcnsrec GIF version

Theorem addcnsrec 6918
Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 6917 and mulcnsrec 6919. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcnsrec (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] E + [⟨𝐶, 𝐷⟩] E ) = [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩] E )

Proof of Theorem addcnsrec
StepHypRef Expression
1 addcnsr 6910 . 2 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ + ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩)
2 opelxpi 4376 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R))
3 ecidg 6170 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] E = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
42, 3syl 14 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] E = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
5 opelxpi 4376 . . . 4 ((𝐶R𝐷R) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (R × R))
6 ecidg 6170 . . . 4 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (R × R) → [⟨𝐶, 𝐷⟩] E = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
75, 6syl 14 . . 3 ((𝐶R𝐷R) → [⟨𝐶, 𝐷⟩] E = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
84, 7oveqan12d 5531 . 2 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] E + [⟨𝐶, 𝐷⟩] E ) = (⟨𝐴, 𝐵⟩ + ⟨𝐶, 𝐷⟩))
9 addclsr 6838 . . . . 5 ((𝐴R𝐶R) → (𝐴 +R 𝐶) ∈ R)
109ad2ant2r 478 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐴 +R 𝐶) ∈ R)
11 addclsr 6838 . . . . 5 ((𝐵R𝐷R) → (𝐵 +R 𝐷) ∈ R)
1211ad2ant2l 477 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐵 +R 𝐷) ∈ R)
13 opelxpi 4376 . . . 4 (((𝐴 +R 𝐶) ∈ R ∧ (𝐵 +R 𝐷) ∈ R) → ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩ ∈ (R × R))
1410, 12, 13syl2anc 391 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩ ∈ (R × R))
15 ecidg 6170 . . 3 (⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩ ∈ (R × R) → [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩] E = ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩)
1614, 15syl 14 . 2 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩] E = ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩)
171, 8, 163eqtr4d 2082 1 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] E + [⟨𝐶, 𝐷⟩] E ) = [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩] E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  cop 3378   E cep 4024   × cxp 4343  ccnv 4344  (class class class)co 5512  [cec 6104  Rcnr 6395   +R cplr 6399   + caddc 6892
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-iplp 6566  df-enr 6811  df-nr 6812  df-plr 6813  df-c 6895  df-add 6900
This theorem is referenced by:  axaddass  6946  axdistr  6948
  Copyright terms: Public domain W3C validator