Theorem absval 9599

Description: The absolute value (modulus) of a complex number. Proposition 10-3.7(a) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
absval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))

Proof of Theorem absval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsqrt 9596	. . . 4 ⊢ √ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℝ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑦)))
2		reex 7015	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	mptex 5387	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (℩𝑦 ∈ ℝ ((𝑦↑2) = 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑦))) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2110	. . 3 ⊢ √ ∈ V
5		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		cjcl 9448	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
7	5, 6	mulcld 7047	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
8		fvexg 5194	. . 3 ⊢ ((√ ∈ V ∧ (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V)
9	4, 7, 8	sylancr 393	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V)
10		fveq2 5178	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴))
11		oveq12 5521	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ (∗‘𝑥) = (∗‘𝐴)) → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
12	10, 11	mpdan 398	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · (∗‘𝑥)) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
13	12	fveq2d 5182	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
14		df-abs 9597	. . 3 ⊢ abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘(𝑥 · (∗‘𝑥))))
15	13, 14	fvmptg 5248	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) ∈ V) → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
16	9, 15	mpdan 398	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   class class class wbr 3764   ↦ cmpt 3818  ‘cfv 4902  ℩crio 5467  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889   · cmul 6894   ≤ cle 7061  2c2 7964  ↑cexp 9254  ∗ccj 9439  √csqrt 9594  abscabs 9595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-ltxr 7065  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-cj 9442  df-rsqrt 9596  df-abs 9597

This theorem is referenced by:  absneg  9648  abscl  9649  abscj  9650  absvalsq  9651  absval2  9655  abs0  9656  absi  9657  absge0  9658  absrpclap  9659  absmul  9667  absid  9669  absre  9673  absf  9706