Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absexp GIF version

Theorem absexp 9675
 Description: Absolute value of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
absexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem absexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5520 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
21fveq2d 5182 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴↑0)))
3 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑0))
42, 3eqeq12d 2054 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0)))
54imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0))))
6 oveq2 5520 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
76fveq2d 5182 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
8 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2054 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
109imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))))
11 oveq2 5520 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1211fveq2d 5182 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2054 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5520 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1716fveq2d 5182 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴𝑁)))
18 oveq2 5520 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2054 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
2019imbi2d 219 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))))
21 abs1 9670 . . . 4 (abs‘1) = 1
22 exp0 9259 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2322fveq2d 5182 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = (abs‘1))
24 abscl 9649 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 7054 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
2625exp0d 9375 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑0) = 1)
2721, 23, 263eqtr4a 2098 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0))
28 oveq1 5519 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
2928adantl 262 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
30 expp1 9262 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
3130fveq2d 5182 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)))
32 expcl 9273 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
33 simpl 102 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
34 absmul 9667 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3532, 33, 34syl2anc 391 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3631, 35eqtrd 2072 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3736adantr 261 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
38 expp1 9262 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
3925, 38sylan 267 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
4039adantr 261 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
4129, 37, 403eqtr4d 2082 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4241exp31 346 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4342com12 27 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4443a2d 23 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
455, 10, 15, 20, 27, 44nn0ind 8352 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
4645impcom 116 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   · cmul 6894  ℕ0cn0 8181  ↑cexp 9254  abscabs 9595 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597 This theorem is referenced by:  absexpzap  9676  abssq  9677  sqabs  9678  absexpd  9788
 Copyright terms: Public domain W3C validator