Theorem abexssex 5694

Description: Existence of a class abstraction with an existentially quantified expression. Both x and y can be free in φ. (Contributed by NM, 29-Jul-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
abrexex2.1	⊢ A ∈ V
abrexex2.2	⊢ {y ∣ φ} ∈ V

Assertion

Ref	Expression
abexssex	⊢ {y ∣ ∃x(x ⊆ A ∧ φ)} ∈ V

Distinct variable group:   x,y,A

Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem abexssex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2306	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ 𝒫 Aφ ↔ ∃x(x ∈ 𝒫 A ∧ φ))
2		selpw 3358	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ 𝒫 A ↔ x ⊆ A)
3	2	anbi1i 431	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ 𝒫 A ∧ φ) ↔ (x ⊆ A ∧ φ))
4	3	exbii 1493	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ 𝒫 A ∧ φ) ↔ ∃x(x ⊆ A ∧ φ))
5	1, 4	bitri 173	. . 3 ⊢ (∃x ∈ 𝒫 Aφ ↔ ∃x(x ⊆ A ∧ φ))
6	5	abbii 2150	. 2 ⊢ {y ∣ ∃x ∈ 𝒫 Aφ} = {y ∣ ∃x(x ⊆ A ∧ φ)}
7		abrexex2.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
8	7	pwex 3923	. . 3 ⊢ 𝒫 A ∈ V
9		abrexex2.2	. . 3 ⊢ {y ∣ φ} ∈ V
10	8, 9	abrexex2 5693	. 2 ⊢ {y ∣ ∃x ∈ 𝒫 Aφ} ∈ V
11	6, 10	eqeltrri 2108	1 ⊢ {y ∣ ∃x(x ⊆ A ∧ φ)} ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 97  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  {cab 2023  ∃wrex 2301  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911  𝒫 cpw 3351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853

This theorem is referenced by: (None)