Theorem 3nn 7856

Description: 3 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
3nn	⊢ 3 ∈ ℕ

Proof of Theorem 3nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3 7754	. 2 ⊢ 3 = (2 + 1)
2		2nn 7855	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		peano2nn 7707	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℕ → (2 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 ⊢ (2 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2107	1 ⊢ 3 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 1390  (class class class)co 5455  1c1 6712   + caddc 6714  ℕcn 7695  2c2 7744  3c3 7745

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1re 6777  ax-addrcl 6780

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-inn 7696  df-2 7753  df-3 7754

This theorem is referenced by:  4nn  7857  3nn0  7975  3z  8050  ige3m2fz  8683