Theorem 2exeu 1989

Description: Double existential uniqueness implies double uniqueness quantification. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)

Assertion

Ref	Expression
2exeu	⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) → ∃!x∃!yφ)

Proof of Theorem 2exeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 1551	. . . . 5 ⊢ (∃y∃xφ ↔ ∃x∃yφ)
2		hbe1 1381	. . . . . . . 8 ⊢ (∃xφ → ∀x∃xφ)
3	2	hbmo 1936	. . . . . . 7 ⊢ (∃*y∃xφ → ∀x∃*y∃xφ)
4	3	19.41h 1572	. . . . . 6 ⊢ (∃x(∃yφ ∧ ∃*y∃xφ) ↔ (∃x∃yφ ∧ ∃*y∃xφ))
5		19.8a 1479	. . . . . . . . 9 ⊢ (φ → ∃xφ)
6	5	moimi 1962	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*y∃xφ → ∃*yφ)
7	6	anim2i 324	. . . . . . 7 ⊢ ((∃yφ ∧ ∃*y∃xφ) → (∃yφ ∧ ∃*yφ))
8	7	eximi 1488	. . . . . 6 ⊢ (∃x(∃yφ ∧ ∃*y∃xφ) → ∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
9	4, 8	sylbir 125	. . . . 5 ⊢ ((∃x∃yφ ∧ ∃*y∃xφ) → ∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
10	1, 9	sylanb 268	. . . 4 ⊢ ((∃y∃xφ ∧ ∃*y∃xφ) → ∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
11		simpl 102	. . . . . 6 ⊢ ((∃yφ ∧ ∃*yφ) → ∃yφ)
12	11	moimi 1962	. . . . 5 ⊢ (∃*x∃yφ → ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
13	12	adantl 262	. . . 4 ⊢ ((∃x∃yφ ∧ ∃*x∃yφ) → ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
14	10, 13	anim12i 321	. . 3 ⊢ (((∃y∃xφ ∧ ∃*y∃xφ) ∧ (∃x∃yφ ∧ ∃*x∃yφ)) → (∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ) ∧ ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ)))
15	14	ancoms 255	. 2 ⊢ (((∃x∃yφ ∧ ∃*x∃yφ) ∧ (∃y∃xφ ∧ ∃*y∃xφ)) → (∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ) ∧ ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ)))
16		eu5 1944	. . 3 ⊢ (∃!x∃yφ ↔ (∃x∃yφ ∧ ∃*x∃yφ))
17		eu5 1944	. . 3 ⊢ (∃!y∃xφ ↔ (∃y∃xφ ∧ ∃*y∃xφ))
18	16, 17	anbi12i 433	. 2 ⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) ↔ ((∃x∃yφ ∧ ∃*x∃yφ) ∧ (∃y∃xφ ∧ ∃*y∃xφ)))
19		eu5 1944	. . 3 ⊢ (∃!x∃!yφ ↔ (∃x∃!yφ ∧ ∃*x∃!yφ))
20		eu5 1944	. . . . 5 ⊢ (∃!yφ ↔ (∃yφ ∧ ∃*yφ))
21	20	exbii 1493	. . . 4 ⊢ (∃x∃!yφ ↔ ∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
22	20	mobii 1934	. . . 4 ⊢ (∃*x∃!yφ ↔ ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ))
23	21, 22	anbi12i 433	. . 3 ⊢ ((∃x∃!yφ ∧ ∃*x∃!yφ) ↔ (∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ) ∧ ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ)))
24	19, 23	bitri 173	. 2 ⊢ (∃!x∃!yφ ↔ (∃x(∃yφ ∧ ∃*yφ) ∧ ∃*x(∃yφ ∧ ∃*yφ)))
25	15, 18, 24	3imtr4i 190	1 ⊢ ((∃!x∃yφ ∧ ∃!y∃xφ) → ∃!x∃!yφ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∃wex 1378  ∃!weu 1897  ∃*wmo 1898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901

This theorem is referenced by: (None)