Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2elresin Structured version   GIF version

Theorem 2elresin 4924
 Description: Membership in two functions restricted by each other's domain. (Contributed by NM, 8-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
2elresin ((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) ↔ (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB)))))

Proof of Theorem 2elresin
StepHypRef Expression
1 fnop 4916 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn A x, y 𝐹) → x A)
2 fnop 4916 . . . . . . . 8 ((𝐺 Fn B x, z 𝐺) → x B)
31, 2anim12i 321 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn A x, y 𝐹) (𝐺 Fn B x, z 𝐺)) → (x A x B))
43an4s 507 . . . . . 6 (((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) → (x A x B))
5 elin 3094 . . . . . 6 (x (AB) ↔ (x A x B))
64, 5sylibr 137 . . . . 5 (((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) → x (AB))
7 vex 2529 . . . . . . . 8 y V
87opres 4536 . . . . . . 7 (x (AB) → (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) ↔ ⟨x, y 𝐹))
9 vex 2529 . . . . . . . 8 z V
109opres 4536 . . . . . . 7 (x (AB) → (⟨x, z (𝐺 ↾ (AB)) ↔ ⟨x, z 𝐺))
118, 10anbi12d 442 . . . . . 6 (x (AB) → ((⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB))) ↔ (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)))
1211biimprd 147 . . . . 5 (x (AB) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB)))))
136, 12syl 14 . . . 4 (((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB)))))
1413ex 108 . . 3 ((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB))))))
1514pm2.43d 44 . 2 ((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB)))))
16 resss 4550 . . . 4 (𝐹 ↾ (AB)) ⊆ 𝐹
1716sseli 2909 . . 3 (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) → ⟨x, y 𝐹)
18 resss 4550 . . . 4 (𝐺 ↾ (AB)) ⊆ 𝐺
1918sseli 2909 . . 3 (⟨x, z (𝐺 ↾ (AB)) → ⟨x, z 𝐺)
2017, 19anim12i 321 . 2 ((⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB))) → (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺))
2115, 20impbid1 130 1 ((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) ↔ (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB)))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1366   ∩ cin 2884  ⟨cop 3342   ↾ cres 4262   Fn wfn 4812 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-rex 2281  df-v 2528  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-br 3728  df-opab 3782  df-xp 4266  df-rel 4267  df-dm 4270  df-res 4272  df-fun 4819  df-fn 4820 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator