ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2elresin Structured version   GIF version

Theorem 2elresin 4953
Description: Membership in two functions restricted by each other's domain. (Contributed by NM, 8-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
2elresin ((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) ↔ (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB)))))

Proof of Theorem 2elresin
StepHypRef Expression
1 fnop 4945 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn A x, y 𝐹) → x A)
2 fnop 4945 . . . . . . . 8 ((𝐺 Fn B x, z 𝐺) → x B)
31, 2anim12i 321 . . . . . . 7 (((𝐹 Fn A x, y 𝐹) (𝐺 Fn B x, z 𝐺)) → (x A x B))
43an4s 522 . . . . . 6 (((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) → (x A x B))
5 elin 3120 . . . . . 6 (x (AB) ↔ (x A x B))
64, 5sylibr 137 . . . . 5 (((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) → x (AB))
7 vex 2554 . . . . . . . 8 y V
87opres 4564 . . . . . . 7 (x (AB) → (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) ↔ ⟨x, y 𝐹))
9 vex 2554 . . . . . . . 8 z V
109opres 4564 . . . . . . 7 (x (AB) → (⟨x, z (𝐺 ↾ (AB)) ↔ ⟨x, z 𝐺))
118, 10anbi12d 442 . . . . . 6 (x (AB) → ((⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB))) ↔ (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)))
1211biimprd 147 . . . . 5 (x (AB) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB)))))
136, 12syl 14 . . . 4 (((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺)) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB)))))
1413ex 108 . . 3 ((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB))))))
1514pm2.43d 44 . 2 ((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) → (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB)))))
16 resss 4578 . . . 4 (𝐹 ↾ (AB)) ⊆ 𝐹
1716sseli 2935 . . 3 (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) → ⟨x, y 𝐹)
18 resss 4578 . . . 4 (𝐺 ↾ (AB)) ⊆ 𝐺
1918sseli 2935 . . 3 (⟨x, z (𝐺 ↾ (AB)) → ⟨x, z 𝐺)
2017, 19anim12i 321 . 2 ((⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB))) → (⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺))
2115, 20impbid1 130 1 ((𝐹 Fn A 𝐺 Fn B) → ((⟨x, y 𝐹 x, z 𝐺) ↔ (⟨x, y (𝐹 ↾ (AB)) x, z (𝐺 ↾ (AB)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wcel 1390  cin 2910  cop 3370  cres 4290   Fn wfn 4840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-dm 4298  df-res 4300  df-fun 4847  df-fn 4848
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator