ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0npr GIF version

Theorem 0npr 6466
Description: The empty set is not a positive real. (Contributed by NM, 15-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
0npr ¬ ∅ P

Proof of Theorem 0npr
StepHypRef Expression
1 noel 3222 . . . . . 6 ¬ x
2 1st0 5713 . . . . . . 7 (1st ‘∅) = ∅
32eleq2i 2101 . . . . . 6 (x (1st ‘∅) ↔ x ∅)
41, 3mtbir 595 . . . . 5 ¬ x (1st ‘∅)
54nex 1386 . . . 4 ¬ x x (1st ‘∅)
6 rexex 2362 . . . 4 (x Q x (1st ‘∅) → x x (1st ‘∅))
75, 6mto 587 . . 3 ¬ x Q x (1st ‘∅)
8 prml 6460 . . 3 (⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ Px Q x (1st ‘∅))
97, 8mto 587 . 2 ¬ ⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ P
10 prop 6458 . 2 (∅ P → ⟨(1st ‘∅), (2nd ‘∅)⟩ P)
119, 10mto 587 1 ¬ ∅ P
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wex 1378   wcel 1390  wrex 2301  c0 3218  cop 3370  cfv 4845  1st c1st 5707  2nd c2nd 5708  Qcnq 6264  Pcnp 6275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-qs 6048  df-ni 6288  df-nqqs 6332  df-inp 6449
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator