Theorem 0fv 5208

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 4910	. 2 ⊢ (∅‘𝐴) = (℩𝑥𝐴∅𝑥)
2		noel 3228	. . . . . 6 ⊢ ¬ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ ∅
3		df-br 3765	. . . . . 6 ⊢ (𝐴∅𝑥 ↔ ⟨𝐴, 𝑥⟩ ∈ ∅)
4	2, 3	mtbir 596	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴∅𝑥
5	4	nex 1389	. . . 4 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝐴∅𝑥
6		euex 1930	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 𝐴∅𝑥 → ∃𝑥 𝐴∅𝑥)
7	5, 6	mto 588	. . 3 ⊢ ¬ ∃!𝑥 𝐴∅𝑥
8		iotanul 4882	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑥 𝐴∅𝑥 → (℩𝑥𝐴∅𝑥) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 7	. 2 ⊢ (℩𝑥𝐴∅𝑥) = ∅
10	1, 9	eqtri 2060	1 ⊢ (∅‘𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∃!weu 1900  ∅c0 3224  ⟨cop 3378   class class class wbr 3764  ℩cio 4865  ‘cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-sn 3381  df-uni 3581  df-br 3765  df-iota 4867  df-fv 4910

This theorem is referenced by: (None)