Theorem 0fv 5129

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘A) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 4833	. 2 ⊢ (∅‘A) = (℩xA∅x)
2		noel 3201	. . . . . 6 ⊢ ¬ ⟨A, x⟩ ∈ ∅
3		df-br 3735	. . . . . 6 ⊢ (A∅x ↔ ⟨A, x⟩ ∈ ∅)
4	2, 3	mtbir 583	. . . . 5 ⊢ ¬ A∅x
5	4	nex 1366	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x A∅x
6		euex 1908	. . . 4 ⊢ (∃!x A∅x → ∃x A∅x)
7	5, 6	mto 575	. . 3 ⊢ ¬ ∃!x A∅x
8		iotanul 4805	. . 3 ⊢ (¬ ∃!x A∅x → (℩xA∅x) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 7	. 2 ⊢ (℩xA∅x) = ∅
10	1, 9	eqtri 2038	1 ⊢ (∅‘A) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1226  ∃wex 1358   ∈ wcel 1370  ∃!weu 1878  ∅c0 3197  ⟨cop 3349   class class class wbr 3734  ℩cio 4788  ‘cfv 4825

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-dif 2893  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-sn 3352  df-uni 3551  df-br 3735  df-iota 4790  df-fv 4833

This theorem is referenced by:  rdgi0g  5882  rdg0  5891