Theorem 0fv 5151

Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0fv	⊢ (∅‘A) = ∅

Proof of Theorem 0fv

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 4853	. 2 ⊢ (∅‘A) = (℩xA∅x)
2		noel 3222	. . . . . 6 ⊢ ¬ ⟨A, x⟩ ∈ ∅
3		df-br 3756	. . . . . 6 ⊢ (A∅x ↔ ⟨A, x⟩ ∈ ∅)
4	2, 3	mtbir 595	. . . . 5 ⊢ ¬ A∅x
5	4	nex 1386	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x A∅x
6		euex 1927	. . . 4 ⊢ (∃!x A∅x → ∃x A∅x)
7	5, 6	mto 587	. . 3 ⊢ ¬ ∃!x A∅x
8		iotanul 4825	. . 3 ⊢ (¬ ∃!x A∅x → (℩xA∅x) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 7	. 2 ⊢ (℩xA∅x) = ∅
10	1, 9	eqtri 2057	1 ⊢ (∅‘A) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃!weu 1897  ∅c0 3218  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755  ℩cio 4808  ‘cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-uni 3572  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853

This theorem is referenced by: (None)