Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zindd Unicode version

Theorem zindd 8356
 Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zindd.1
zindd.2
zindd.3
zindd.4
zindd.5
zindd.6
zindd.7
zindd.8
Assertion
Ref Expression
zindd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem zindd
StepHypRef Expression
1 znegcl 8276 . . . . . . 7
2 elznn0nn 8259 . . . . . . 7
31, 2sylib 127 . . . . . 6
4 simpr 103 . . . . . . 7
54orim2i 678 . . . . . 6
63, 5syl 14 . . . . 5
7 zcn 8250 . . . . . . . 8
87negnegd 7313 . . . . . . 7
98eleq1d 2106 . . . . . 6
109orbi2d 704 . . . . 5
116, 10mpbid 135 . . . 4
12 zindd.1 . . . . . . . 8
1312imbi2d 219 . . . . . . 7
14 zindd.2 . . . . . . . 8
1514imbi2d 219 . . . . . . 7
16 zindd.3 . . . . . . . 8
1716imbi2d 219 . . . . . . 7
18 zindd.4 . . . . . . . 8
1918imbi2d 219 . . . . . . 7
20 zindd.6 . . . . . . 7
21 zindd.7 . . . . . . . . 9
2221com12 27 . . . . . . . 8
2322a2d 23 . . . . . . 7
2413, 15, 17, 19, 20, 23nn0ind 8352 . . . . . 6
2524com12 27 . . . . 5
26 nnnn0 8188 . . . . . . . 8
2713, 15, 17, 15, 20, 23nn0ind 8352 . . . . . . . 8
2826, 27syl 14 . . . . . . 7
2928com12 27 . . . . . 6
30 zindd.8 . . . . . 6
3129, 30mpdd 36 . . . . 5
3225, 31jaod 637 . . . 4
3311, 32syl5 28 . . 3
3433ralrimiv 2391 . 2
35 znegcl 8276 . . . . 5
36 negeq 7204 . . . . . . . . 9
37 zcn 8250 . . . . . . . . . 10
3837negnegd 7313 . . . . . . . . 9
3936, 38sylan9eqr 2094 . . . . . . . 8
4039eqcomd 2045 . . . . . . 7
4140, 18syl 14 . . . . . 6
4241bicomd 129 . . . . 5
4335, 42rspcdv 2659 . . . 4
4443com12 27 . . 3
4544ralrimiv 2391 . 2
46 zindd.5 . . 3
4746rspccv 2653 . 2
4834, 45, 473syl 17 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wo 629   wceq 1243   wcel 1393  wral 2306  (class class class)co 5512  cr 6888  cc0 6889  c1 6890   caddc 6892  cneg 7183  cn 7914  cn0 8181  cz 8245 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator