Theorem zeo 8343

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	|- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 8247	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
2		oveq1 5519	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
3		2cn 7986	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
4		2ap0 8009	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
5	3, 4	div0api 7722	. . . . . . 7 |- ( 0 / 2 ) = 0
6		0z 8256	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
7	5, 6	eqeltri 2110	. . . . . 6 |- ( 0 / 2 ) e. ZZ
8	2, 7	syl6eqel 2128	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N / 2 ) e. ZZ )
9	8	orcd 652	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
10	9	adantl 262	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ N = 0 ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
11		nneoor 8340	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
12		nnz 8264	. . . . . 6 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ )
13		nnz 8264	. . . . . 6 |- ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
14	12, 13	orim12i 676	. . . . 5 |- ( ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
15	11, 14	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
16	15	adantl 262	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ N e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
17		nneoor 8340	. . . . 5 |- ( -u N e. NN -> ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18	17	adantl 262	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
19		recn 7014	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> N e. CC )
20		divnegap 7683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
21	3, 4, 20	mp3an23 1224	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. CC -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u ( N / 2 ) = ( -u N / 2 ) )
23	22	eleq1d 2106	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u ( N / 2 ) e. NN <-> ( -u N / 2 ) e. NN ) )
24		nnnegz 8248	. . . . . . . 8 |- ( -u ( N / 2 ) e. NN -> -u -u ( N / 2 ) e. ZZ )
25	23, 24	syl6bir 153	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( -u N / 2 ) e. NN -> -u -u ( N / 2 ) e. ZZ ) )
26	19	halfcld 8169	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( N / 2 ) e. CC )
27	26	negnegd 7313	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> -u -u ( N / 2 ) = ( N / 2 ) )
28	27	eleq1d 2106	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( -u -u ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
29	25, 28	sylibd 138	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( -u N / 2 ) e. NN -> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
30		nnz 8264	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
31		peano2zm 8283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ )
32		ax-1cn 6977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
33	32, 3	negsubdi2i 7297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u ( 1 - 2 ) = ( 2 - 1 )
34		2m1e1 8034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 - 1 ) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = -u ( 1 - 2 )
36	32, 3	subcli 7287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 - 2 ) e. CC
37	32, 36	negcon2i 7294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 = -u ( 1 - 2 ) <-> ( 1 - 2 ) = -u 1 )
38	35, 37	mpbi 133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 2 ) = -u 1
39	38	oveq2i 5523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u N + ( 1 - 2 ) ) = ( -u N + -u 1 )
40		negcl 7211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. CC -> -u N e. CC )
41		addsubass 7221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u N e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
42	32, 3, 41	mp3an23 1224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = ( -u N + ( 1 - 2 ) ) )
44		negdi 7268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( N + 1 ) = ( -u N + -u 1 ) )
45	32, 44	mpan2 401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> -u ( N + 1 ) = ( -u N + -u 1 ) )
46	39, 43, 45	3eqtr4a 2098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( ( -u N + 1 ) - 2 ) = -u ( N + 1 ) )
47	46	oveq1d 5527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
48		peano2cn 7148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> ( -u N + 1 ) e. CC )
49	40, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( -u N + 1 ) e. CC )
50	3, 4	pm3.2i 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
51		divsubdirap 7684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -u N + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
52	3, 50, 51	mp3an23 1224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u N + 1 ) e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
53	49, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
54		2div2e1 8042	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 / 2 ) = 1
55	54	eqcomi 2044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 = ( 2 / 2 )
56	55	oveq2i 5523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - ( 2 / 2 ) )
57	53, 56	syl6reqr 2091	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = ( ( ( -u N + 1 ) - 2 ) / 2 ) )
58		peano2cn 7148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( N + 1 ) e. CC )
59		divnegap 7683	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N + 1 ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0 ) -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
60	3, 4, 59	mp3an23 1224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N + 1 ) e. CC -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
61	58, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( -u ( N + 1 ) / 2 ) )
62	47, 57, 61	3eqtr4d 2082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = -u ( ( N + 1 ) / 2 ) )
63	19, 62	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) = -u ( ( N + 1 ) / 2 ) )
64	63	eleq1d 2106	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) - 1 ) e. ZZ <-> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
65	31, 64	syl5ib 143	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
66		znegcl 8276	. . . . . . . . 9 |- ( -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
67	65, 66	syl6 29	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
68		peano2re 7149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. RR )
69	68	recnd 7054	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( N + 1 ) e. CC )
70	69	halfcld 8169	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. CC )
71	70	negnegd 7313	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
72	71	eleq1d 2106	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u -u ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
73	67, 72	sylibd 138	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
74	30, 73	syl5 28	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
75	29, 74	orim12d 700	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) ) )
76	75	adantr 261	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( ( -u N / 2 ) e. NN \/ ( ( -u N + 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) ) )
77	18, 76	mpd 13	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ -u N e. NN ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
78	10, 16, 77	3jaodan 1201	. 2 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
79	1, 78	sylbi 114	1 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   \/ w3o 884   = wceq 1243   e. wcel 1393   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   0cc0 6889   1c1 6890   + caddc 6892   - cmin 7182   -ucneg 7183   # cap 7572   / cdiv 7651   NNcn 7914   2c2 7964   ZZcz 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-n0 8182  df-z 8246

This theorem is referenced by:  zeo2  8344