ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zeo Unicode version

Theorem zeo 8119
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo  N  ZZ  N  2  ZZ  N  +  1  2  ZZ

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 8023 . 2  N  ZZ  N  RR  N  0  N  NN  -u N  NN
2 oveq1 5462 . . . . . 6  N  0  N  2  0  2
3 2cn 7766 . . . . . . . 8  2  CC
4 2ap0 7789 . . . . . . . 8  2 #  0
53, 4div0api 7504 . . . . . . 7  0  2  0
6 0z 8032 . . . . . . 7  0  ZZ
75, 6eqeltri 2107 . . . . . 6  0  2  ZZ
82, 7syl6eqel 2125 . . . . 5  N  0  N  2  ZZ
98orcd 651 . . . 4  N  0  N  2  ZZ  N  +  1  2  ZZ
109adantl 262 . . 3  N  RR  N  0  N 
2  ZZ  N  + 
1  2  ZZ
11 nneoor 8116 . . . . 5  N  NN  N  2  NN  N  +  1  2  NN
12 nnz 8040 . . . . . 6  N  2  NN  N  2  ZZ
13 nnz 8040 . . . . . 6  N  +  1  2  NN  N  +  1  2  ZZ
1412, 13orim12i 675 . . . . 5  N  2  NN  N  +  1  2  NN  N  2  ZZ  N  +  1  2  ZZ
1511, 14syl 14 . . . 4  N  NN  N  2  ZZ  N  +  1  2  ZZ
1615adantl 262 . . 3  N  RR  N  NN  N 
2  ZZ  N  + 
1  2  ZZ
17 nneoor 8116 . . . . 5  -u N  NN  -u N 
2  NN  -u N  +  1 
2  NN
1817adantl 262 . . . 4  N  RR  -u N  NN  -u N  2  NN 
-u N  +  1  2  NN
19 recn 6812 . . . . . . . . . 10  N  RR  N  CC
20 divnegap 7465 . . . . . . . . . . 11  N  CC  2  CC  2 #  0  -u N  2  -u N 
2
213, 4, 20mp3an23 1223 . . . . . . . . . 10  N  CC  -u N  2  -u N 
2
2219, 21syl 14 . . . . . . . . 9  N  RR  -u N  2  -u N 
2
2322eleq1d 2103 . . . . . . . 8  N  RR  -u N  2  NN  -u N  2  NN
24 nnnegz 8024 . . . . . . . 8  -u N  2  NN  -u -u N  2  ZZ
2523, 24syl6bir 153 . . . . . . 7  N  RR  -u N  2  NN  -u -u N  2  ZZ
2619halfcld 7946 . . . . . . . . 9  N  RR  N  2  CC
2726negnegd 7109 . . . . . . . 8  N  RR  -u -u N  2  N  2
2827eleq1d 2103 . . . . . . 7  N  RR  -u -u N  2  ZZ  N  2  ZZ
2925, 28sylibd 138 . . . . . 6  N  RR  -u N  2  NN  N  2  ZZ
30 nnz 8040 . . . . . . 7  -u N  + 
1  2  NN  -u N  + 
1  2  ZZ
31 peano2zm 8059 . . . . . . . . . 10  -u N  + 
1  2  ZZ  -u N  +  1 
2  -  1  ZZ
32 ax-1cn 6776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  1  CC
3332, 3negsubdi2i 7093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  -u
1  -  2  2  -  1
34 2m1e1 7812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  2  -  1  1
3533, 34eqtr2i 2058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  1  -u 1  -  2
3632, 3subcli 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  1  -  2  CC
3732, 36negcon2i 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  1  -u 1  -  2  1  -  2  -u 1
3835, 37mpbi 133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  1  -  2  -u 1
3938oveq2i 5466 . . . . . . . . . . . . . . 15  -u N  +  1  -  2  -u N  +  -u 1
40 negcl 7008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  N  CC  -u N  CC
41 addsubass 7018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
-u N  CC  1  CC  2  CC  -u N  +  1  - 
2 
-u N  +  1  -  2
4232, 3, 41mp3an23 1223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  -u N  CC  -u N  + 
1  -  2  -u N  +  1  -  2
4340, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  N  CC  -u N  +  1  -  2  -u N  +  1  -  2
44 negdi 7064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  N  CC  1  CC  -u N  + 
1 
-u N  +  -u
1
4532, 44mpan2 401 . . . . . . . . . . . . . . 15  N  CC  -u N  +  1  -u N  +  -u 1
4639, 43, 453eqtr4a 2095 . . . . . . . . . . . . . 14  N  CC  -u N  +  1  -  2  -u N  + 
1
4746oveq1d 5470 . . . . . . . . . . . . 13  N  CC  -u N  + 
1  -  2  2  -u N  +  1  2
48 peano2cn 6945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  -u N  CC  -u N  +  1  CC
4940, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  N  CC  -u N  +  1  CC
503, 4pm3.2i 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  2  CC  2 #  0
51 divsubdirap 7466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  -u N  + 
1  CC  2  CC  2  CC  2 #  0  -u N  +  1  -  2 
2  -u N  +  1 
2  - 
2  2
523, 50, 51mp3an23 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15 
-u N  +  1  CC  -u N  +  1  - 
2  2  -u N  +  1  2  -  2 
2
5349, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  N  CC  -u N  + 
1  -  2  2 
-u N  +  1  2  -  2 
2
54 2div2e1 7820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  2  2  1
5554eqcomi 2041 . . . . . . . . . . . . . . 15  1  2  2
5655oveq2i 5466 . . . . . . . . . . . . . 14  -u N  + 
1  2  -  1  -u N  +  1  2  -  2  2
5753, 56syl6reqr 2088 . . . . . . . . . . . . 13  N  CC  -u N  + 
1  2  -  1  -u N  +  1  -  2 
2
58 peano2cn 6945 . . . . . . . . . . . . . 14  N  CC  N  +  1  CC
59 divnegap 7465 . . . . . . . . . . . . . . 15  N  +  1  CC  2  CC  2 #  0  -u N  +  1  2  -u N  +  1 
2
603, 4, 59mp3an23 1223 . . . . . . . . . . . . . 14  N  +  1  CC  -u N  +  1  2  -u N  +  1 
2
6158, 60syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  N  CC  -u N  +  1  2  -u N  +  1 
2
6247, 57, 613eqtr4d 2079 . . . . . . . . . . . 12  N  CC  -u N  + 
1  2  -  1  -u N  + 
1  2
6319, 62syl 14 . . . . . . . . . . 11  N  RR  -u N  + 
1  2  -  1  -u N  + 
1  2
6463eleq1d 2103 . . . . . . . . . 10  N  RR  -u N  +  1 
2  -  1  ZZ  -u N  +  1  2  ZZ
6531, 64syl5ib 143 . . . . . . . . 9  N  RR  -u N  + 
1  2  ZZ  -u N  + 
1  2  ZZ
66 znegcl 8052 . . . . . . . . 9  -u N  +  1  2  ZZ  -u -u N  +  1  2  ZZ
6765, 66syl6 29 . . . . . . . 8  N  RR  -u N  + 
1  2  ZZ  -u -u N  + 
1  2  ZZ
68 peano2re 6946 . . . . . . . . . . . 12  N  RR  N  +  1  RR
6968recnd 6851 . . . . . . . . . . 11  N  RR  N  +  1  CC
7069halfcld 7946 . . . . . . . . . 10  N  RR  N  +  1  2  CC
7170negnegd 7109 . . . . . . . . 9  N  RR  -u -u N  +  1  2  N  + 
1  2
7271eleq1d 2103 . . . . . . . 8  N  RR  -u -u N  + 
1  2  ZZ  N  +  1  2  ZZ
7367, 72sylibd 138 . . . . . . 7  N  RR  -u N  + 
1  2  ZZ  N  +  1  2  ZZ
7430, 73syl5 28 . . . . . 6  N  RR  -u N  + 
1  2  NN  N  +  1  2  ZZ
7529, 74orim12d 699 . . . . 5  N  RR  -u N 
2  NN  -u N  +  1 
2  NN  N  2  ZZ  N  +  1  2  ZZ
7675adantr 261 . . . 4  N  RR  -u N  NN  -u N  2  NN 
-u N  +  1  2  NN  N  2  ZZ  N  +  1  2  ZZ
7718, 76mpd 13 . . 3  N  RR  -u N  NN  N 
2  ZZ  N  + 
1  2  ZZ
7810, 16, 773jaodan 1200 . 2  N  RR  N  0  N  NN  -u N  NN  N  2  ZZ  N  +  1  2  ZZ
791, 78sylbi 114 1  N  ZZ  N  2  ZZ  N  +  1  2  ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wo 628   w3o 883   wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   0cc0 6711   1c1 6712    + caddc 6714    - cmin 6979   -ucneg 6980   # cap 7365   cdiv 7433   NNcn 7695   2c2 7744   ZZcz 8021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-2 7753  df-n0 7958  df-z 8022
This theorem is referenced by:  zeo2  8120
  Copyright terms: Public domain W3C validator