Theorem zeo 8119

Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
zeo	|- ( N e. ZZ -> (( N / 2) e. ZZ \/ (( N + 1) / 2) e. ZZ))

Proof of Theorem zeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz 8023	. 2 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN)))
2		oveq1 5462	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N / 2) = ( 0 / 2))
3		2cn 7766	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
4		2ap0 7789	. . . . . . . 8 |- 2 # 0
5	3, 4	div0api 7504	. . . . . . 7 |- ( 0 / 2) = 0
6		0z 8032	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
7	5, 6	eqeltri 2107	. . . . . 6 |- ( 0 / 2) e. ZZ
8	2, 7	syl6eqel 2125	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( N / 2) e. ZZ)
9	8	orcd 651	. . . 4 |- ( N = 0 -> (( N / 2) e. ZZ \/ (( N + 1) / 2) e. ZZ))
10	9	adantl 262	. . 3 |- (( N e. RR /\ N = 0) -> (( N / 2) e. ZZ \/ (( N + 1) / 2) e. ZZ))
11		nneoor 8116	. . . . 5 |- ( N e. NN -> (( N / 2) e. NN \/ (( N + 1) / 2) e. NN))
12		nnz 8040	. . . . . 6 |- (( N / 2) e. NN -> ( N / 2) e. ZZ)
13		nnz 8040	. . . . . 6 |- ((( N + 1) / 2) e. NN -> (( N + 1) / 2) e. ZZ)
14	12, 13	orim12i 675	. . . . 5 |- ((( N / 2) e. NN \/ (( N + 1) / 2) e. NN) -> (( N / 2) e. ZZ \/ (( N + 1) / 2) e. ZZ))
15	11, 14	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> (( N / 2) e. ZZ \/ (( N + 1) / 2) e. ZZ))
16	15	adantl 262	. . 3 |- (( N e. RR /\ N e. NN) -> (( N / 2) e. ZZ \/ (( N + 1) / 2) e. ZZ))
17		nneoor 8116	. . . . 5 |- ( -u N e. NN -> (( -u N / 2) e. NN \/ (( -u N + 1) / 2) e. NN))
18	17	adantl 262	. . . 4 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN) -> (( -u N / 2) e. NN \/ (( -u N + 1) / 2) e. NN))
19		recn 6812	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> N e. CC)
20		divnegap 7465	. . . . . . . . . . 11 |- (( N e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0) -> -u( N / 2) = ( -u N / 2))
21	3, 4, 20	mp3an23 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. CC -> -u( N / 2) = ( -u N / 2))
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u( N / 2) = ( -u N / 2))
23	22	eleq1d 2103	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u( N / 2) e. NN <-> ( -u N / 2) e. NN))
24		nnnegz 8024	. . . . . . . 8 |- ( -u( N / 2) e. NN -> -u -u( N / 2) e. ZZ)
25	23, 24	syl6bir 153	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> (( -u N / 2) e. NN -> -u -u( N / 2) e. ZZ))
26	19	halfcld 7946	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ( N / 2) e. CC)
27	26	negnegd 7109	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> -u -u( N / 2) = ( N / 2))
28	27	eleq1d 2103	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( -u -u( N / 2) e. ZZ <-> ( N / 2) e. ZZ))
29	25, 28	sylibd 138	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> (( -u N / 2) e. NN -> ( N / 2) e. ZZ))
30		nnz 8040	. . . . . . 7 |- ((( -u N + 1) / 2) e. NN -> (( -u N + 1) / 2) e. ZZ)
31		peano2zm 8059	. . . . . . . . . 10 |- ((( -u N + 1) / 2) e. ZZ -> ((( -u N + 1) / 2) - 1) e. ZZ)
32		ax-1cn 6776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
33	32, 3	negsubdi2i 7093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u( 1 - 2) = ( 2 - 1)
34		2m1e1 7812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 - 1) = 1
35	33, 34	eqtr2i 2058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 = -u( 1 - 2)
36	32, 3	subcli 7083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 - 2) e. CC
37	32, 36	negcon2i 7090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 = -u( 1 - 2) <-> ( 1 - 2) = -u 1)
38	35, 37	mpbi 133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 2) = -u 1
39	38	oveq2i 5466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u N + ( 1 - 2)) = ( -u N + -u 1)
40		negcl 7008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. CC -> -u N e. CC)
41		addsubass 7018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (( -u N e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC) -> (( -u N + 1) - 2) = ( -u N + ( 1 - 2)))
42	32, 3, 41	mp3an23 1223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> (( -u N + 1) - 2) = ( -u N + ( 1 - 2)))
43	40, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> (( -u N + 1) - 2) = ( -u N + ( 1 - 2)))
44		negdi 7064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (( N e. CC /\ 1 e. CC) -> -u( N + 1) = ( -u N + -u 1))
45	32, 44	mpan2 401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> -u( N + 1) = ( -u N + -u 1))
46	39, 43, 45	3eqtr4a 2095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> (( -u N + 1) - 2) = -u( N + 1))
47	46	oveq1d 5470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ((( -u N + 1) - 2) / 2) = ( -u( N + 1) / 2))
48		peano2cn 6945	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u N e. CC -> ( -u N + 1) e. CC)
49	40, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. CC -> ( -u N + 1) e. CC)
50	3, 4	pm3.2i 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0)
51		divsubdirap 7466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((( -u N + 1) e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0)) -> ((( -u N + 1) - 2) / 2) = ((( -u N + 1) / 2) - ( 2 / 2)))
52	3, 50, 51	mp3an23 1223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (( -u N + 1) e. CC -> ((( -u N + 1) - 2) / 2) = ((( -u N + 1) / 2) - ( 2 / 2)))
53	49, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ((( -u N + 1) - 2) / 2) = ((( -u N + 1) / 2) - ( 2 / 2)))
54		2div2e1 7820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 / 2) = 1
55	54	eqcomi 2041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 = ( 2 / 2)
56	55	oveq2i 5466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((( -u N + 1) / 2) - 1) = ((( -u N + 1) / 2) - ( 2 / 2))
57	53, 56	syl6reqr 2088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> ((( -u N + 1) / 2) - 1) = ((( -u N + 1) - 2) / 2))
58		peano2cn 6945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. CC -> ( N + 1) e. CC)
59		divnegap 7465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((( N + 1) e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 # 0) -> -u(( N + 1) / 2) = ( -u( N + 1) / 2))
60	3, 4, 59	mp3an23 1223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (( N + 1) e. CC -> -u(( N + 1) / 2) = ( -u( N + 1) / 2))
61	58, 60	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. CC -> -u(( N + 1) / 2) = ( -u( N + 1) / 2))
62	47, 57, 61	3eqtr4d 2079	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ((( -u N + 1) / 2) - 1) = -u(( N + 1) / 2))
63	19, 62	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ((( -u N + 1) / 2) - 1) = -u(( N + 1) / 2))
64	63	eleq1d 2103	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> (((( -u N + 1) / 2) - 1) e. ZZ <-> -u(( N + 1) / 2) e. ZZ))
65	31, 64	syl5ib 143	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> ((( -u N + 1) / 2) e. ZZ -> -u(( N + 1) / 2) e. ZZ))
66		znegcl 8052	. . . . . . . . 9 |- ( -u(( N + 1) / 2) e. ZZ -> -u -u(( N + 1) / 2) e. ZZ)
67	65, 66	syl6 29	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ((( -u N + 1) / 2) e. ZZ -> -u -u(( N + 1) / 2) e. ZZ))
68		peano2re 6946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( N + 1) e. RR)
69	68	recnd 6851	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( N + 1) e. CC)
70	69	halfcld 7946	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> (( N + 1) / 2) e. CC)
71	70	negnegd 7109	. . . . . . . . 9 |- ( N e. RR -> -u -u(( N + 1) / 2) = (( N + 1) / 2))
72	71	eleq1d 2103	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( -u -u(( N + 1) / 2) e. ZZ <-> (( N + 1) / 2) e. ZZ))
73	67, 72	sylibd 138	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ((( -u N + 1) / 2) e. ZZ -> (( N + 1) / 2) e. ZZ))
74	30, 73	syl5 28	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ((( -u N + 1) / 2) e. NN -> (( N + 1) / 2) e. ZZ))
75	29, 74	orim12d 699	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ((( -u N / 2) e. NN \/ (( -u N + 1) / 2) e. NN) -> (( N / 2) e. ZZ \/ (( N + 1) / 2) e. ZZ)))
76	75	adantr 261	. . . 4 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN) -> ((( -u N / 2) e. NN \/ (( -u N + 1) / 2) e. NN) -> (( N / 2) e. ZZ \/ (( N + 1) / 2) e. ZZ)))
77	18, 76	mpd 13	. . 3 |- (( N e. RR /\ -u N e. NN) -> (( N / 2) e. ZZ \/ (( N + 1) / 2) e. ZZ))
78	10, 16, 77	3jaodan 1200	. 2 |- (( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN)) -> (( N / 2) e. ZZ \/ (( N + 1) / 2) e. ZZ))
79	1, 78	sylbi 114	1 |- ( N e. ZZ -> (( N / 2) e. ZZ \/ (( N + 1) / 2) e. ZZ))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 628   \/ w3o 883   = wceq 1242   e. wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   CCcc 6709   RRcr 6710   0cc0 6711   1c1 6712   + caddc 6714   - cmin 6979   -ucneg 6980   # cap 7365   / cdiv 7433   NNcn 7695   2c2 7744   ZZcz 8021

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-2 7753  df-n0 7958  df-z 8022

This theorem is referenced by:  zeo2  8120