Theorem xpsn 5339

Description: The cross product of two singletons. (Contributed by NM, 4-Nov-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsn.1	|- A e. _V
xpsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
xpsn	|- ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. }

Proof of Theorem xpsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsn.1	. 2 |- A e. _V
2		xpsn.2	. 2 |- B e. _V
3		xpsng 5338	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )
4	1, 2, 3	mp2an 402	1 |- ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. }

Syntax hints:   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {csn 3375   <.cop 3378   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909

This theorem is referenced by:  dfmpt  5340